Sejam $X, Y$ espaços topológicos, $Y$ Hausdorff e $f: X \to Y $ contínua. Se $F\subset X$ for compacto, então $f[F]\subset Y$ é fechado.
Demonstração: Seja $F\subset X$ compacto. Pela proposição anterior, temos que $f[F] \subset Y$ é compacto (basta olhar para $f|_F : F \to f[F]$). Mas em espaços Hausdorff, compacto implica em fechado. Portanto, como $Y$ é Hausdorff, $f[F]$ é fechado em $Y$.