Proposição: Toda $\varphi\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0})$ contínua induz um homomorfismo $\varphi^{\sharp}\colon \pi_{1}(X,x_{0}) \to \pi_{1}(Y,y_{0})$.

Demonstração: A função induzida $\varphi^{\sharp}$ está bem definida, pois a homotopia $f_{t}$ de laços com base em $x_{0}$ nos dá a homotopia composta $\varphi f_{t}$ de laços com base em $y_{0}$, então, $\varphi^{\sharp}[f_{0}] = [\varphi f_{0}] = [\varphi f_{1}] = \varphi^{\sharp}[f_{1}]$. E mais, $\varphi^{\sharp}$ é um homomorfismo já que $\varphi (f\ast g) = (\varphi f)\ast (\varphi g)$, pois ambas funções têm o valor $\varphi f(2s)$ para $0 \leq s \leq \frac{1}{2}$ e o valor $\varphi g(2s-1)$ para $\frac{1}{2} \leq s \leq 1$.