Demonstração: Sejam $x \in X$ e $F\subset X$ fechado tais que $x \notin F$. Devemos mostrar que existe uma função contínua $f: X \to [0,1]$ tal que $f(x) = 0$ e $f[F] = \{1\}$. Como $X$ é localmente compacto, existe um sistema fundamental de vizinhanças compactas de $x$. Desta forma, como $x\in X \setminus F$, que é um aberto, existe uma vizinhança compacta $V$ de $x$ tal que $V \subset X \setminus F$.

Como $V$ é compacto e de Hausdorff, é normal e, como todo espaço normal é completamente regular, $V$ é completamente regular. Seja $A$ aberto tal que $x \in A \subset V$. Perceba que $V \setminus A$ é um fechado em $V$ e $x \notin V \setminus A$. Então, por definição, existe $g: V \to [0,1]$ contínua tal que $g(x) = 0$ e $g[V\setminus A]=\{1\}$.

Defina $f: X \to [0,1]$ como $$f(y) = \left\{\begin{array}[cc] gg(y), & y \in V, \\ 1, & y \notin V. \end{array}\right.$$

Note que $A \subset \mathring{V}$ e, portanto, $X\setminus \mathring{V} \subset X \setminus A$. Desta forma, como $f|_{X \setminus A} \equiv 1$, então $f|_{X\setminus \mathring{V}} \equiv 1$, que é contínua. Além disso, $f|_{V} = g$, que é contínua. Logo, como $V$ e $X\setminus\mathring{V}$ são fechados em $X$, $V \cup X\setminus\mathring{V} = X$ e $f|_{X\setminus \mathring{V}}$ e $f|_{V}$ são contínuas, concluímos que $f$ é contínua. Também perceba que $f(x) = g(x) = 0$ e, como $F \subset X \setminus V$, $f[F]=\{1\}$. Portanto, $(X,\tau)$ é completamente regular.