Proposição: Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico e $x_0 \in X$. Então $(\pi_{1}(X,x_{0}),\ast)$ é um grupo.

Demonstração: Dando atenção aos laços com o ponto base fixado $x_{0} \in X$, garantimos que o produto $f\ast g$ de quaisquer dois laços está definido. Já observamos que a classe de homotopia de $f\ast g$ depende somente das classes de $f$ e de $g$, então, o produto $[f][g] = [f\ast g]$ está bem definido por causa do lema da colagem. Resta verificar os três axiomas de grupo.

Como um passo preliminar, definiremos a reparametrização de um caminho $f$ como sendo a composta $f\varphi$, onde $\varphi\colon I \to I$ é qualquer função contínua tal que $\varphi(0)=0$ e $\varphi(1) = 1$. Reparametrizar um caminho preserva sua classe de homotopia já que $f\varphi \simeq f$ pela homotopia $f\varphi_{t}$, onde $\varphi_{t}(s) = (1-t)\varphi(s) + ts$ para que tenhamos $\varphi_{0} = \varphi$ e $\varphi_{1}(s) = s$. Note que $(1-t)\varphi(s) + ts$ está entre $\varphi(s)$ e $s$, logo, está em $I$ e a composta $f\varphi_{t}$ está bem definida.

Dados caminhos $f$, $g$, $h$ com $f(1) = g(0)$ e $g(1) = h(0)$, então ambos produtos $(f\ast g)\ast h$ e $f\ast (g\ast h)$ estão definidos e a segunda é reparametrização da primeira pela função linear por partes $\varphi$. Logo, $(f\ast g)\ast h \simeq f\ast (g\ast h)$. Restringindo atenção aos loops em $x_{0}$, isso diz que o produto em $\pi_{1}(X,x_{0})$ é associativo.

Dado um caminho $f\colon I\to X$, seja $c$ o caminho constante em $f(1)$, definida por $c(s) = f(1)$ $\forall$ $s \in I$. Então $f\ast c$ é uma reparametrização da $f$ pela função $\varphi$, logo, $f\ast c \simeq f$. (figuras) Similarmente, $c\ast f \simeq f$, onde $c$ agora é o caminho constante em $f(0)$. Tomando $f$ como loop, deduzimos que a classe de homotopia do caminho constante em $x_{0}$ é a identidade tanto pela direita quanto pela esquerda em $\pi_{1}(X,x_{0})$.

Dado um caminho $f$ de $x_{0}$ até $x_{1}$, o caminho inverso $\bar{f}$ de $x_{1}$ até $x_{0}$ é definida por $\bar{f}(s)= f(1-s)$. Para mostrar que $f\ast \bar{f}$ é homotópico ao caminho constante, usaremos a homotopia $h_{t} = f_{t}\ast g_{t}$, onde $f_{t}$ é o caminho da $f$ no intervalo $[0, 1-t]$ e é estacionário em $f(1-t)$ no intervalo $[1-t, 1]$, e $g_{t}$ é o caminho inverso de $f_{t}$. Temos então que como $f_{0}=f$ e $f_{1}$ é o caminho constante $c$ em $x_{0}$, $h_{t}$ é uma homotopia de $f\ast \bar{f}$ até $c\ast \bar{c} = c$. Trocando $f$ por $\bar{f}$ temos $\bar{f} \ast f \simeq c$ com $c$ o caminho constante em $x_{1}$. Tomando $f$ como sendo um loop em $x_{0}$, deduzimos que $[\bar{f}]$ é inversa dos dois lados de $[f]$ em $\pi_{1}(X,x_{0})$.