Proposição. Seja $(X,\tau)$ espaço compacto e seja $F \subset X$ fechado. Então $F$ é compacto.

Demonstração: Seja $\mathcal{A}$ uma cobertura aberta para $F$ e, para cada $A \in \mathcal{A}$, consideremos $A^*$ aberto em $X$ tal que $A^* \cap F = A$. Neste caso, é fácil ver que $\mathcal{A}^* \cup \lbrace X-F \rbrace$ é uma cobertura aberta para $X$, onde $\mathcal{A}^*=\lbrace A^*: A \in \mathcal{A} \rbrace$. Como $X$ é compacto, tal cobertura admite subcobertura finita $\mathcal{B}$. Note, também, que $\mathcal{B} - \lbrace X- F \rbrace$ induz uma subcobertura finita de $\mathcal{A}$, bastando tomar as interseções de seus elementos com $F$.