Proposição: Se $X$ é conexo por caminhos então $X$ é conexo.

Demonstração: Pela proposição 5.1.11, basta mostrarmos que conseguimos escrever $X$ como união de conjuntos conexos dois a dois não disjuntos. Notemos agora que como $X$ é conexo por caminhos, fixando um $x \in X$ temos para cada $y \in X$ existe uma função contínua $f_{y}: [0,1] \rightarrow X$ tal que $f_{y}(0) = x$ e $f_{y}(y) = 1$. Com isso conseguimos escrever $X = \underset{y \in X}{\bigcup} f_{y}([0,1])$, note que $x \in f_{y}([0,1])$ para todo $y \in X$ pois $x = f_{y}(0), \ \forall y \in X$, logo para quaisquer dois conjuntos da família $\{ f_{y}([0,1]) \}_{y \in X}$ sua interseção é não vazia e usando o fato de conexidade ser um invariante topológico, temos que $X$ é conexo.