Exemplo
Seja $X$ um conjunto e $\tau=\{S\subset X:X\setminus S\text{ é finito}\}\cup\{\emptyset\}$ é a topologia cofinita em $X$, então $(X,\tau)$ é compacto.
De fato, dada uma cobertura aberta $\mathcal{F}$ de $X$, sem perda de generalidade podemos supor $Y\neq \emptyset\ \forall Y\in \mathcal{F}$. Dessa forma, escolha $Y_0\in \mathcal{F}$ qualquer; por definição, sabemos que $X\setminus Y_0=\{x_1,\dots,x_n\}$ é finito, como $\mathcal{F}$ é cobertura de $X$, para todo $1\le i\le n$ existe $Y_i\in \mathcal{F}$ tal que $x_i\in Y_i$, e portanto $$X=\bigcup_{i=0}^n Y_i$$ donde $\{Y_0,Y_1,\dots,Y_n\}\subset \mathcal{F}$ é subcobertura finita de $X$.