Demonstrando a ida : Se $a \leqslant b$, temos que :

$ab = a$

Somando $b$ dos dois lados da igualdade :

$(ab)+b = a+b$

$b+(ba) = a+b$

Pela proposição 4, $b+(ba) = b$, então :

$b+(ba) = b = a+b$

$a+b = b$.

Demonstrando a volta :

$a+b = b$

Multiplicando ambos os lados da igualdade por $a$ :

$a(a+b) = ab$

Pela proposição 3, $a(a+b) = a$, então :

$a(a+b) = a = ab$

Como $a = ab$, $a \leqslant b$.