Propriedade Reflexiva :
$a.a = a$, logo, $a \leqslant a$
Propriedade Antissimétrica :
Se $a \leqslant b$, $ab = a$
Se $b \leqslant a$, $ba = b$
$ab = ba = a = b$
Logo, $a = b$
Propriedade Transitiva :
Se $a \leqslant b$, $ab = a$
Multiplicando ambos os lados por $c$ :
$(ab)c = ac$
$a(bc) = ac$
Como $b \leqslant c$, $bc = b$
$a(bc) = ab = ac$
Como $ab = a$ :
$ab = ac = a$
Como $ac = a$, $a \leqslant c$