Demonstrando a ida :

Como $((-b)+b) = 1$, temos que :

$a((-b)+c) = ((-b)+b)a((-b)+c)$

$a((-b)+c) = (a(-b)+ab)((-b)+c)$

$a((-b)+c) = a(-b)+a(-b)c+ab(-b)+abc$

Como $b(-b) = 0$ :

$a((-b)+c) = a(-b)+a(-b)c+abc$

Se $ab \leq c$, $ab = abc$. Então :

$a((-b)+c) = a(-b)+a(-b)c+ab$

$a((-b)+c) = a((-b)+b)+a(-b)c$

$a((-b)+c) = a+a(-b)c$

Seja $(-b)c = d$. Temos pela proposição 4 que $a(ad) = a$. Logo :

$a((-b)+c) = a+a(-b)c = a+(ad) = a$

Se $a((-b)+c) = a$, $a \leq -b+c$.

Como $-b+c = b \Rightarrow c$, $a \leq b \Rightarrow c$, $\blacksquare$.

Demonstrando a volta :

Se $a \leq (b \Rightarrow c)$, $a \leq (-b+c)$, ou seja, $a(-b+c) = a$.

Multiplicando ambos os lados da igualdade por b :

$b(a(-b+c)) = ab$

$a(b(-b+c)) = ab$

$a(b(-b)+bc)) = ab$

$a(0+bc) = ab$

$abc = ab$

Se $ab = abc$, $ab \leq c$, $\blacksquare$.