1.
Como $1$ é o maior elemento de uma álgebra de Boole e $E \subset A$, qualquer elemento de $E$ é menor que $1$. Logo, considerando $n=1$, temos que $b1 \leq 1$ para qualquer $b1 \in E$. Logo, $1 \in F$.
Sabemos também que todos os elementos de $E$ estão entre $0$ e $1$, uma vez que o conjunto está contido em uma álgebra de Boole. Logo, a multiplicação dos elementos de um subconjunto de $E$ nunca será menor do que $0$. Essa multiplicação também nunca será $0$, uma vez que o conjunto é centrado. Logo, $0 \notin E$.
2.
Se $a \in F$, $ \exists c_1, \ldots, c_n \in E$ tal que $c_1 \ldots c_n \leq a$
Se $b \in F$, $ \exists d_1, \ldots, d_n \in E$ tal que $d_1 \ldots d_n \leq b$
Logo, $c_1 \ldots c_n d_1, \ldots, d_n \leq ab$. Como $c_1, \ldots, c_n, d_1, \ldots, d_n \in E$, $ab \in F$.
3.
Se $a \in F$, $ \exists c_1, \ldots, c_n \in E$ tal que $c_1 \ldots c_n \leq a$
Se $a \leq b$, $c_1 \ldots c_n \leq a \leq b$.
Como $c_1, \ldots, c_n \in E$ e $c_1 \ldots c_n \leq b$, $b \in F$.
Note, por último, que todo elemento de $F$ pertence a $A$. Logo, $F \subset A$.
Portanto, $F$ é um filtro sobre $A$.