Definição Uma álgebra de Boole é um conjunto $A$, munido de duas operações binárias $+$ e $\cdot$ e uma unitária $-$ com dois elementos denotados por $0, 1 \in A$ tais que, para todo $a, b, c \in A$:

1. $a \cdot b = b \cdot a$ e $a + b = b + a$
2. $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$ e $a + (b + c) = (a + b) + c$
3. $a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$ e $a + (b \cdot c) = (a + b) \cdot (a + c)$
4. $a \cdot (a + b) = a + (a \cdot b) = a$
5. $a \cdot (-a) = 0$ e $a + (-a) = 1$

Normalmente denotamos por $ab$ em vez de $a \cdot b$.

Observação Ao longo das demonstrações, nos referiremos a essas definições como proposições de 1 a 5.

Exemplo Seja $X$ um conjunto, $\wp(X)$ com as operações de $\cup$, $\cap$ e $\smallsetminus$ (complementar) formam uma álgebra de Boole Detalhes

Proposição Seja $A$ uma álgebra de Boole. Para $a,0,1 \in A$, $a1 = a$ e $a+0 = a$ Demonstração

Proposição Seja $A$ uma álgebra de Boole. Para $a,0,1 \in A$, $a+a = aa = a$ Demonstração

Proposição Seja $A$ uma álgebra de Boole. Para $a,0,1 \in A$, $a0 = 0$ e $a+1 = 1$ Demonstração

Proposição Seja $A$ uma álgebra de Boole. Para $0,1 \in A$, $-0 = 1$ e $-1 = 0$ Demonstração

Proposição Existe uma única álgebra de Boole com dois elementos Demonstração

Definição Seja $A$ uma álgebra de Boole. Para $a, b \in A$, defina $a \leq b$ se $ab = a$.

Proposição A relação $\leq$ é uma ordem parcial Demonstração

Proposição Seja $A$ uma álgebra de Boole. Dados $a, a', b, b' \in A$, se $a \leq b$ e $a' \leq b'$, então $aa' \leq bb'$ Demonstração

Proposição Para todo $a \in A$, $0 \leq a \leq 1$ Demonstração

Proposição $a \leq b$ se, e somente se, $a + b = b$ Demonstração

Definição Seja $A$ uma álgebra de Boole. Sejam $a, b \in A$. Denotamos por $a - b = a \cdot (-b)$.

Proposição $a \not \leq b$ se, e somente se, $a - b \neq 0$ Demonstração

Definição Seja $A$ uma álgebra de Boole. Sejam $a, b \in A$. Denotamos por $a \Rightarrow b = -a + b$.

Proposição Seja $A$ uma álgebra de Boole. Sejam $a,b,c \in A$. $ab \leq c$ se, e somente se, $a \leq (b \Rightarrow c)$. Demonstração

Definição Seja $A$ uma álgebra de Boole. Dizemos que $F \subset A$ é um filtro se:

1. $1 \in F$ e $0 \notin F$.
2. se $a, b \in F$, então $ab \in F$.
3. se $a \in F$ e $b \in A$ são tais que $a \leq b$, então $b \in F$.

Definição Seja $A$ uma álgebra de Boole. Dizemos que $E \subset A$ é centrado se para todo $a_1, \ldots, a_n \in E$ temos que $a_1 \cdots a_n \neq 0$.

Proposição Seja $A$ uma álgebra de Boole. Seja $E \subset A$ não vazio e centrado. $F = \{a \in A: \exists b_1, \ldots, b_n \in E\ b_1 \cdots b_n \leq a\}$ é um filtro sobre $A$. Chamamos este de filtro gerado por $E$. Demonstração

Definição Seja $A$ uma álgebra de Boole. Dado $F \subset A$ filtro, dizemos que $F$ é um ultrafiltro se $F$ é um filtro maximal com relação a inclusão.

Proposição Seja $F$ um filtro sobre uma álgebra de Boole $A$. São equivalentes: Demonstração

1. $F$ é um ultrafiltro;
2. para todo $a \in A$, $a \in F$ ou $-a \in F$;
3. se $a + b \in F$, então $a \in F$ ou $b \in F$.

Proposição Se $F$ é um filtro, então existe $F'\supset F$ ultrafiltro. Demonstração