A resposta para o título desta seção é: sim. Em outras palavras, temos que a extensão contínua de uma função definida em um subconjunto denso de $X$, caso exista, é única.
Dados $X, Y$ espaços com $Y$ Hausdorff. Se $A\subset X$ é denso e $f:X\rightarrow Y,~g:X\rightarrow Y$ são funções contínuas tais que $f(x)=g(x)$ para todo $x\in A$, então $f=g.$
Demonstração: Suponha por absurdo que não vale. Logo existe $x\in X\backslash A$ tal que $f(x)\not= g(x)$. Sendo $A$ denso, suponha uma sequência $A\ni x_n\rightarrow x$, é claro que $f(x_n)=g(x_n)$ para todo $n=1,2,\ldots$.
Como $Y$ é Haussdorff, pegue $B_0\ni f(x)$ e $B_1\ni g(x)$ abertos, com $B_0\cap B_1= \emptyset$, mas pela continuidade de $f$ e $g$, existem $ n_0\in \mathbb{N}$ tal que $f(x_n)\in B_0,$ para todo $n \ge n_0$ e $n_1\in \mathbb{N}$ tal que $g(x_n)\in B_1$, para todo $n \ge n_1$. Pegando $n_2\ge \max\{n_0,n_1\}$ teríamos que $f(x_n)\not= g(x_n)$ para todo $n\ge n_2$, absurdo! $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\square$
Toda função $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, possui um uma restrição contínua em um subconjunto denso dos reais. De maneira geral, se um espaço topológico $X$ assegura que toda função $f: X\rightarrow \mathbb{R}$ admita restrição contínua em um subconjunto denso, então $X$ é denominado espaço de Blumberg, em homenagem ao matemático alemão Henry Blumberg. Portanto, $\mathbb{R}$ é um espaço de Blumberg. Esses resultados se encontram no artigo: Teorema de Blumberg.