Topologia Produto

Queremos construir uma topologia natural para o produto de espaço topológicos, comecemos de maneira simples com apenas dois espaços:

Definição: Espaço Topológico $X\times Y$

Sejam $(X, \tau )$ e $(Y,\sigma)$ espaços topológicos, considere o conjunto $X\times Y = \{ (x,y)\ |\ x\in X,\ y\in Y\}$. Temos então uma topologia em $X\times Y$ gerada a partir do conjunto $\{ A\times B\ |\ A\in\tau,\ B\in\sigma\}$.

Obs: Note que, em geral, o conjunto $\{ A\times B\ |\ A\in\tau,\ B\in\sigma\}$ NÃO é topologia, é necessário gerar a topologia a partir dele!

Mostre que conjunto $\{ A\times B\ |\ A\in\tau,\ B\in\sigma\}$ pode não ser topologia de $X \times Y$.

Tome a bola aberta topologia usual de $\mathbb{R}^{2}$ e compare com o conjunto que gera a topologia produto $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$.

Mostre que se $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ são, respectivamente, bases de $X,Y$, então $\mathcal{C}=\{ A\times B\ |\ A\in\mathcal{A},\ B\in\mathcal{B}\}$ é base de $X\times Y$.
Mostre que $T_2$ (Hausdorff) é invariante sobre o produto de dois espaços topológicos, isto é, se $X,Y$ são $T_2$ $\implies$ $X\times Y$ é $T_2$.

Definição: Gráfico de Função

Dada função $f:X\xrightarrow{}Y$, chamamos de gráfico de $f$ o conjunto $\{ (x,f(x))\in X\times Y\ |\ x\in X\}$.

Mostre que dados $X,Y$ espaços topológicos e uma função contínua $f:X\xrightarrow{}Y$. Se $Y$ é $T_2$, então o gráfico de $f$ é fechado na topologia produto $X\times Y$.
$X$ é $T_2$ se, e só se, $D=\{(x,x)\ |\ x\in X\}$ é fechado em $X\times X$, prove.
Dado $X,Y$ espaços topológicos, $y\in Y$, mostre que:
1. $X$ é homeomorfo a $X\times\{ y\}$;
2. Se $Y$ é $T_1$, então $X\times\{ y\}$ é fechado em $X\times Y$.
Seja $f:\mathbb{R}\xrightarrow{}\mathbb{R}$ definida via $f(x)=x^{-1}$, $\forall x\in\mathbb{R}\backslash\{ 0\}$, e $f(0)=0$, mostre que o gráfico de $f$ é fechado, mas f não é contínua em $\mathbb{R}^{2}$.

Agora buscaremos uma definição mais geral que vai permitir construir um produto para uma quantidade qualquer de espaços topológicos.

Dado um produto, independente da construção, parece desejável identificar elementos deste a partir de elementos das componentes, portanto, definimos as projeções:

Definição: Função Projeção

Dado $(X_{\alpha})_{\alpha\in A}$ coleção de conjuntos não-vazios, tome o conjunto de sequências $\prod_{\alpha\in A}X_{\alpha} = \{ (x_{\alpha})_{\alpha\in A}\ |\ x_{\alpha}\in X_{\alpha}\}$.

Então, para cada $\alpha\in A$, definimos uma função projeção $\pi_{\alpha}:\prod_{\beta\in A}X_{\beta}\xrightarrow{}X_{\alpha}$ via $\pi_{\alpha}((x_{\beta})_{\beta\in A})=x_{\alpha}$.

Dados $X_1,X_2$ espaços topológicos e as projeções $\pi_{i}:X_1\times X_2\xrightarrow{}X_i$, $i=1,2$, definida via $\pi_{i}(x_1,x_2)=x_i$, mostre que $\pi_1$ e $\pi_2$ são contínuas, isto é, se $V_i$ é aberto em $X_i$, então $\pi_{i}^{-1}[V_i]$ é aberto em $X_1\times X_2$. Ainda mais, mostre que $\{ \pi_{1}^{-1}[V_1]\ |\ V_1 \text{ aberto em }X_1 \}\cup\{ \pi_{2}^{-1}[V_2]\ |\ V_2\text{ aberto em }X_2\}$ é base de $X_1\times X_2$.

Como no exercício acima, faz sentido querermos que projeções identifiquem abertos das componentes com abertos do produto, isto é, sejam contínuas, então é natural querer a topologia mais simples que satisfaça isso e, portanto, propor uma pergunta mais geral: “para funções de um conjunto qualquer, qual a menor topologia definida sobre esse conjunto que garante a continuidade destas funções?”, construímos então:

Definição: Topologia Fraca

Dada uma coleção de espaços topológicos $(Y_{\alpha})_{\alpha\in A}$ e um conjunto $X$, então a partir de uma família $\mathcal{F} = \{ f_{\alpha}: X\xrightarrow{}Y_{\alpha}\ |\ \alpha\in A \}$, chamamos de Topologia Fraca (induzida por $\mathcal{F}$) a topologia gerada pelos conjuntos $f_{\alpha}^{-1}[V]$, onde $V\subset Y_{\alpha}$ são abertos em $Y_{\alpha}$ e $f_{\alpha}\in\mathcal{F}$.

Obs: Se convença que vendo $X$ com a topologia fraca de $\mathcal{F}$, todas as funções $f_{\alpha}\in\mathcal{F}$ são, por construção, contínuas em $Y_{\alpha}$.

Mostre que a topologia fraca induzida por $\mathcal{F}$ é, de fato, a menor topologia de $X$ em que as funções de $\mathcal{F}$ são contínuas.

Suponha que existe topologia em $X$ com tal propriedade e, pelo menos, um aberto a menos que a topologia fraca.

Então é fácil concluir que a generalização da topologia produto que buscamos é, naturalmente, a topologia fraca da família de projeções! Obtemos a seguinte definição:

Definição: Topologia Produto

Seja $(X_{\alpha})_{\alpha\in A}$ coleção de espaços topológicos, $\prod_{\alpha\in A}X_{\alpha}$ o conjunto de suas sequências como definido anteriormente e $(\pi_{\alpha})_{\alpha\in A}$ as projeções correspondentes.

Definimos a Topologia Produto como a topologia fraca induzida pela família das projeções, isto é, a menor topologia tal que as projeções são contínuas nos seus respectivos espaços.

Obs: É importante frisar que apesar de termos definido a topologia produto de uma quantidade qualquer de espaços topológicos, existe uma nova sutileza. Diferente do caso finito em que produto de abertos é aberto, nessa nova estrutura o produto qualquer de abertos não é necessariamente aberto!

Mostre que o produto qualquer de abertos não é necessariamente aberto na topologia produto.

Mostre que $\prod_{n\in\mathbb{N}}]0,1[$ não é aberto na topologia produto de $\prod_{n\in\mathbb{N}}\mathbb{R}$.

Uma noção que facilitará nosso trabalho nesta estrutura é o suporte de um aberto básico de $\prod_{\alpha\in A}X_{\alpha}$:

Definição: Suporte de um Aberto Básico

Dada $(X_{\alpha})_{\alpha\in A}$ coleção de espaços topológicos, os abertos básicos da topologia produto de $\prod_{\alpha\in A}X_{\alpha}$ são os abertos da forma $W=\prod_{\alpha\in A}W_{\alpha}$, onde $W_{\alpha}= V_{\alpha}$ aberto próprio de $X_{\alpha}$ para $\alpha\in F\subset A$ finito e $W_{\alpha}= X_{\alpha}$ para $\alpha\in A\backslash F$.

Chamamos $F$ de Suporte de $W$ e denotamos $F = \text{supp } W$.

Mostre que o produto qualquer de fechados é fechado na topologia produto.
Dados $(X_{\alpha})_{\alpha\in A}$ espaços topológicos, se $B_{\alpha}\subset X_{\alpha}$, para cada $\alpha\in A$, então $\overline{\prod_{\alpha\in A}B_{\alpha}}$ = $\prod_{\alpha\in A}\overline{B_{\alpha}}$

Mostre as seguintes invariâncias por produto, se $(X_{\alpha})_{\alpha\in A}$ são:

$T_0$ $\implies$ $\prod_{\alpha\in A}X_{\alpha}$ é $T_0$;
$T_1$ $\implies$ $\prod_{\alpha\in A}X_{\alpha}$ é $T_1$;

Use que os unitários são fechados $\iff$ $T_1$.

$T_2$ $\implies$ $\prod_{\alpha\in A}X_{\alpha}$ é $T_2$ (Hausdorff);

Foque no fato que $(x_{\alpha})_{\alpha\in A},(y_{\alpha})_{\alpha\in A}\in\prod_{\alpha\in A}X_{\alpha}$ são distintos $\iff$ para algum $\alpha\in A$ temos $x_{\alpha}\neq y_{\alpha}$.

$T_3$ $\implies$ $\prod_{\alpha\in A}X_{\alpha}$ é $T_3$.

Para ver a validade da caracterização de $T_3$, se faz necessário analisar apenas os abertos básicos $W=\prod_{\alpha\in A}W_{\alpha}$. Ainda mais, basta focar apenas nos abertos da caracterização nos espaços $X_{\alpha}$ para $\alpha\in\text{supp }W$.