Seja $(X, d)$ um espaço métrico, estamos interessados em descobrir qual a “topologia fraca induzida pela métrica”, no seguinte sentido: para cada $x \in X$, considere $f_{x} : X \to \mathbb{R}$ dada por $f_{x}(a) = d(x,a)$. Assim, qual seria a topologia fraca induzida pela família de funções $\{f_{x} : x \in X \}$ sobre $X$? A resposta, não muito surpreendente, é que essa topologia coincide com a topologia induzida pela métrica $d$. Dessa forma, podemos pensar na topologia induzida pela métrica como a menor topologia que faz com que a métrica seja contínua.
Cada $f_{x}$ é uma função contínua.
De fato, sejam $x, a, b \in X$, segue da desigualdade triangular que $d(x,a) \leq d(x,b) + d(b,a) \Rightarrow d(x,a) - d(x,b) \leq d(b,a)$. Da mesma forma, obtemos que $-d(b,a) \leq d(x,a) - d(x,b)$, o que implica $\vert f_x(a) - f_x(b) \vert \leq d(b,a)$. Com isso, dado $\epsilon > 0$, tome $\delta = \epsilon$ e segue que para todo $a, b \in X$ vale que $\vert f_x(a) - f_x(b) \vert \leq d(b,a) < \delta = \epsilon$. Portanto, para cada $x \in X$ a função $f_x : X \to \mathbb{R}$ é contínua.
Seja $\sigma$ a topologia fraca induzida por $\{f_{x} : x \in X \}$ e $\tau$ a topologia induzida pela métrica $d$. Pela observação acima já podemos afirmar que $\sigma \subset \tau$, pois $\sigma$ é a menor topologia em $X$ tal que cada $f_x$ é contínua.
Para todo $x \in X$, dado $r > 0$, temos o seguinte: \begin{equation} \begin{split} f_{x}^{-1} ((-r,r)) & = \{a \in X \,\,\, | \,\,\, - r < f_x(a) < r \} \\ & = \{ a \in X \,\,\, | \,\,\, f_{x}(a) < r \} \\ & = \{a \in X \,\,\, | \,\,\, d(x,a) < r \}, \end{split} \end{equation} de onde segue que $$ f_{x}^{-1} ((-r,r)) = B_{r}(x).$$ Como $\mathcal{B} = \{ f_{x}^{-1}((-\frac{1}{n}, \frac{1}{n})) = B_{\frac{1}{n}} (x) \,\,\, | \,\,\, x \in X, n \in \mathbb{N} \}$ é uma base para $(X , d )$, concluímos que todo aberto de $\tau$ também é aberto de $\sigma$ e vice-versa, isto é, $\sigma = \tau$.