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Topologia Forte
Seja $\mathcal{F}=\{f_i:Y_i \Rightarrow X; i \in I\}$ a família de funções, para $(Y_i,\tau_i)$ espaço topológico. Chama-se topologia forte em $X$ induzida por $\mathcal{F}$ a maior topologia onde $f_i$ é contínua.
Pode pensar que, se acrescentar um aberto nessa topologia, umas das funções $f_i$ deixa de ser contínua.
Ao exibir uma determinada topologia, será mostrado que é a única a satisfazer a propriedade destacada.
Como são os abertos?
Considere $$\tau:\{V \subset X: f_i^{-1}[V]\in \tau_i \forall i \in I\}$$
Família formada por elementos que, ao pegar a imagem inversa deles, são levados a um aberto $i$ certo.
Note que, com a restrição imposta, cada $f_i$ passa a ser contínua, visto que foi escolhida exatamente a condição necessária (imagem inversa de aberto é aberta). Além disso, vê-se que será aberta em toda topologia $\tau_i$.
É maximal
Note que ela é maximal. Seja $\rho$ uma topologia qualquer que esteja sobre $X$ tal que $f_i$ sejam contínuas. Assim, qualquer aberto de $\rho$ satisfaz a condição de continuidade. Portanto, qualquer aberto de $\rho$ é aberto de $\tau$. Logo, $\rho \in \tau$.
Critério: Para saber que $g$ é contínua, basta saber que $g\circ f_i$ é contínua.
O critério caracteriza a topologia forte. Demonstração