Sejam $\{ (X_{\alpha}, \tau_{\alpha}) \}_{\alpha \in A}$ uma família de espaços topológicos, $(X, \tau)$ um espaço topológico e $\{f_{\alpha} \}_{\alpha \in A}$ uma família de funções $f_{\alpha} : X \to X_{\alpha}$. Definimos a função diagonal, como sendo a função $\Delta_{\alpha \in A} f_{\alpha} : X \to \prod_{\alpha \in A} X_\alpha $, dada por $\Delta_{\alpha \in A} f_{\alpha}(x) = (f_{\alpha}(x))_{\alpha \in A}$.
Considere $A = \{1, 2 \}$ na definição anterior. Nesse caso, a função diagonal $\Delta_{\alpha \in A} f_{\alpha} : X \to X_1 \times X_2$ é dada por $\Delta_{\alpha \in A} f_{\alpha}(x) = (f_1(x), f_2(x))$.
Se cada $f_{\alpha}$ é contínua então a função diagonal é contínua.
Seja $f : X \to Y$ uma função. Dizemos que $f$ é uma imersão se $f: X \to f(X)$ é um homeomorfismo. Neste caso, dizemos que $Y$ contém uma cópia de $X$, como subespaço.
Veremos no próximo teorema que sob certas condições existe uma cópia de $X$ dentro de um produto. Primeiro, vamos definir, de maneira geral, algumas das condições técnicas que serão exigidas nesse teorema.
Seja $\mathcal{F} = \{f_{\alpha} : X \to X_{\alpha} \,\,\, | \,\,\, \alpha \in A \}$. Dizemos que $\mathcal{F}$ separa pontos se para quaisquer $x,y \in X$ distintos, existe $f_\alpha \in \mathcal{F}$ tal que $f_\alpha (x) \neq f_{\alpha} (y)$. Além disso, dizemos que $\mathcal{F}$ separa pontos de fechados se, para todo $x \in X$ e $F \subset X$ fechado tal que $x \notin F$, existe $f_{\alpha} \in \mathcal{F}$ para o qual $f_{\alpha}(x) \notin \overline{f_{\alpha}(F)}$.
Seja $(X, \tau)$ um espaço completamente regular. Então $\mathcal{F} = \{f : X \to [0, 1] \,\,\, | \,\,\, f \mbox{ é contínua} \}$ separa pontos de fechados. De fato, sejam $x \in X$ e $F \subset X$ fechado tal que $x \notin F$. Como $X$ é $T_{3\frac{1}{2}}$ existe uma função $f : X \to [0, 1]$ contínua tal que $f(x) = 0$ e $f(y) = 1$, para todo $y \in F$. Como também $X$ é $T_{1}$, segue que $$f(x) = 0 \notin \{ 1 \} = \overline{\{ 1 \}} = \overline{f(F)}. $$
Seja $\mathcal{F} = \{f_{\alpha} : X \to X_{\alpha} \,\,\, | \,\,\, \alpha \in A \}$ família de funções contínuas. Se $\mathcal{F}$ separa pontos, então a função diagonal dessa família de funções é injetora. Se além disso, $\mathcal{F}$ separa pontos de fechados, então $\Delta_{\alpha \in A} f_{\alpha}$ é uma imersão.
Seja $(X, \tau)$ espaço topológico. Então $(X, \tau)$ é completamente regular se, e somente se, existe $A$ tal que $(X, \tau)$ é homeomorfo a um subespaço de $\prod_{\alpha \in A} [0, 1]$.
Demonstração:
Se $(X, \tau)$ é completamente regular, como vimos no exemplo acima $\mathcal{F} = \{f : X \to [0, 1] \,\,\, | \,\,\, f \mbox{ é contínua} \}$ separa pontos de fechados. Assim, pelo Teorema da Imersão, $$\Delta_{f \in \mathcal{F}} f : X \to \prod_{f \in \mathcal{F}} [0,1],$$ é uma imersão, logo $(X, \tau)$ é homeomorfo a um subespaço de $\prod_{f \in \mathcal{F}} [0,1]$.
Reciprocamente, como $[0, 1]$ é completamente regular então $\prod_{\alpha \in A} [0, 1]$ também o é. Então $(X, \tau)$ é completamente regular pois qualquer subespaço de um espaço completamente regular ainda o é.