Provaremos o Teorema da Alfândega, o qual nos dá uma importante propriedade e aplicação da conexidade no espaço Euclidiano $\mathbb{R}^n$.
Seja $C$ um conjunto conexo de $\mathbb{R}^n$ e $X \subset \mathbb{R}^n$ um conjunto não-vazio qualquer. Se $C$ contém pontos de $X$, e também de seu complementar $\mathbb{R}^n \setminus X$, então $C$ contém pontos de $\partial X$, fronteira de $X$.
Demonstração: Considere os conjuntos $A = C \cap X$ e o conjunto $B = C \cap (\mathbb{R}^n \setminus X)$. Note que, pela hipótese, existem pontos em ambas as interseções, fazendo com que $A$ e $B$ sejam não-vazios. Ainda mais, o conjunto $C$ pode ser escrito como $C = A \cup B$; então, pela sua conexidade, deve existir um ponto $a \in \overline{A} \cap B$ ou um ponto $b \in A \cap \overline{B}$. Suponha que $a \in \overline{A} \cap B$. Logo, temos que $a$ é um ponto aderente ao conjunto $A$, i.e., $a \in \overline{A} = \overline{C \cap X}$, mas $\overline{A} \subset \overline{X}$. Pela aderência de $a$ em $A$, toda bola centrada em $A$ intersecta o conjunto $X$ e seu complementar $\mathbb{R}^n \setminus X$. Dessa forma, $a \in C \cap \partial X$. Para o caso de $b \in A \cap \overline{B}$, a prova é análoga.