Nesta página enunciamos e provamos algumas propriedade da compactificação de Stone–Čech $\beta\mathbb{N}$ dos números naturais.
Seja $F$ um subespaço fechado e infinito de $\beta\mathbb{N}$. Então $F$ contém um subespaço homeomorfo a $\beta\mathbb{N}$.
Os números reais tem uma propriedade semelhante à Proposição 1: dado um subespaço aberto e infinito $A$ de $\mathbb{R}$, existe um intervalo $(a,b)\subset A$ tal que $(a,b)\cong\mathbb{R}$. A ideia da Proposição 1 é que essa propriedade vale para $\beta\mathbb{N}$, mas para subespaços fechados ao invés de abertos.
Se $F\subset\beta\mathbb{N}$ é infinito, então $|F|=|\beta\mathbb{N}|$.
O espaço $\beta\mathbb{N}$ é compacto, mas nenhuma sequência não trivial em $\beta\mathbb{N}$ converge.