A definição acima permanece equivalente se trocarmos aberto por vizinhança, bastando notar que toda vizinhança de $x \in X$ contém um aberto que contém $x$. Além disso, podemos usar a desigualdade estrita para definir sequências convergentes, obtendo novamente uma definição equivalente.

Se quisermos dizer que uma sequência $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge para $x \in X$, então escreveremos $x_n \rightarrow x$.

A partir do último exemplo, podemos perceber que, em geral, não é verdade que uma sequência converge para um único ponto. Neste exemplo, se tomarmos uma sequência constante $x_n=m \in \mathbb{N}$, para todo $n \in \mathbb{N}$, então $x_n \to m$ e $x_n \to a$.

Em Espaços de Hausdorff toda sequência convergente converge para um único ponto.