A principal propriedade que abordaremos é que em Espaços de Hausdorff, os subespaços compactos de um espaço compacto consistem exatamente nos subconjuntos fechados deste espaço. No entanto, em geral, os subconjuntos fechados de um compacto são compactos, como veremos a seguir.
Seja $(X,\tau)$ espaço compacto e seja $F \subset X$ fechado. Então $F$ é compacto. Demonstração
Como Espaços de Hausdorff separam pontos de compactos, então, neste caso, os subespaços compactos de espaços compactos são fechados.
Sejam $(X, \tau)$ um espaço compacto de Hausdorff e $F \subset X$ um conjunto. Então, $F$ é fechado se, e somente se, $F$ é compacto. Demonstração
Também, como Espaços de Hausdorff separam compactos disjuntos, então, em espaços compactos, basta a propriedade de Hausdorff para termos a normalidade.
Todo espaço compacto de Hausdorff é normal. Demonstração