Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico. Dizemos que $D \subset X$ é denso em $X$ se $\overline{D}=X$.
A caracterização de densos apresentada a seguir é importante para demonstrações posteriores.
Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico. $D \subset X$ é denso se, e somente se, para todo aberto não vazio $A$, $A \cap D \neq \emptyset$. Demonstração
Dizemos que $(X,\tau)$ satisfaz o terceiro axioma de enumerabilidade (3rd countable) se admite um subconjunto denso enumerável. Nesse caso dizemos que $(X,\tau)$ é um espaço separável, como é mais conhecido.
O segundo axioma de enumerabilidade implica no terceiro.
Se um espaço topológico $(X,\tau)$ satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade, então ele é separável. Demonstração
Todo subespaço de um espaço que tenha base enumerável é separável. Demonstração
A Reta de Sorgenfrey é separável, mas não tem base enumerável. A volta da proposição acima não é válida, exceto quando temos espaços métricos.
Se $(X,d)$ é um espaço métrico separável, então $(X,d)$ satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade. Demonstração
Dizemos que o espaço topológico $(X,\tau)$ é um espaço metrizável se existe uma métrica sobre $X$ que induz a topologia $\tau$.
A Reta de Sorgenfrey é um exemplo de espaço não metrizável, pois é separável, mas não admite base enumerável. Então pela proposição anterior, ele não é metrizável.
Uma propriedade P de um espaço topológico $X$ é dita ser hereditária se, e somente se, todo subespaço de $X$ também possui a propriedade P. Vimos que todo subespaço de um espaço que satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade também satisfaz o esse mesmo axioma. O mesmo acontece para o segundo axioma de enumerabilidade. No caso de subespaço de um espaço separável necessariamente não acontece.
Considere $\mathbb {R}$ com a topologia usual. Seja $Y=\mathbb {R}$ \ $\mathbb {Q}$. Sabemos que $\mathbb {R}$ é separável, pois $\mathbb {Q}$ é um subconjunto denso enumerável de $\mathbb {R}$. Porém, $Y$ não é separável, pois não existe um subconjunto enumerável de números irracionais denso pertencente a $\mathbb{Q}$ que esteja em $Y$.
Existe uma relação entre os três axiomas de enumerabilidade:
separável $\Leftarrow$ segundo axioma de enumerabilidade $\Rightarrow$ primeiro axioma de enumerabilidade