$\prod_{\alpha \in A} \mathbb{N}$ é separável se $|A|\le |\mathbb{R}|=\mathfrak{c}.$
Demonstração. Já que $|A|\le \mathfrak{c},$ então sem perda de generalidade podemos supor que $A\subset \mathbb{R}$. Defina $\mathcal{B}_0=\{]p,q[\cap A; p,q\in\mathbb{Q}, p<q\}$. Como $\mathbb{Q}$ é enumerável, temos que o conjunto dos intervalos abertos com extremidades nos racionais $V=\{]p,q[;~p,q\in \mathbb{Q},~p<q\}$ é um conjunto enumerável, e desde que $|\mathcal{B}_0|\le|V|$, segue que $\mathcal{B}_0$ é enumerável.
Agora peguemos $\mathcal{B}_n=\{J\subset \mathcal{B}_0; |J|=n\}$, podemos definir uma bijeção entre $\mathcal{B}_n$ e $\mathcal{B}_0^n$, associando os conjuntos às $n-$uplas. Façamos então
$$\phi: \mathcal{B}_n\rightarrow \mathcal{B}_0^n$$ $$\{J_1,\ldots,J_n\}=J\mapsto (J_1,\ldots,J_n),$$ onde todo elemento de $J_i$ é menor que todo elemento de $J_j$ se $i<j.$ Portanto temos que $|\mathcal{B}_n|= \prod_{i=1}^n|\mathcal{B}_0|,$ e $\mathcal{B}_n$ é enumerável.
Para cada elemento $J=\{J_i\}_1^n=\{J_1,\ldots,J_n\}\in \mathcal{B}_n$ podemos associar o conjunto de $n-$uplas $\mathbb{N}^n=\{(a_i)_1^n=(a_1,\ldots,a_n); a_i\in \mathbb{N}\}.$ Defina $D_n$ o conjunto das funções $f_{(a_i)_1^n,\{J_i\}_1^n}:A\rightarrow \mathbb{N},$ tais que
$$f_{(a_i)_1^n,\{J_i\}_1^n}(\alpha)= a_i,~~\text{se}~\alpha \in J_i,$$ $$f_{(a_i)_1^n,\{J_i\}_1^n}(\alpha)=0,~~~\text{caso contrário}.$$
então $|D_n|=|\mathbb{N}^n|\cdot |\mathcal{B}_n|$, ou seja $D_n$ é enumerável. Segue facilmente que $D=\cup_{n=1}^\infty D_n $ também é enumerável.
Mas perceba que $\mathbb{N}^A$ é o conjunto de todas as funções $f:A\rightarrow \mathbb{N}$: $$\prod_{\alpha \in A} \mathbb{N} = \{(x_\alpha)_{\alpha\in A}; x_\alpha \in \mathbb{N}\}$$ $$=\{f: A\rightarrow \cup_{\alpha\in A}\mathbb{N}=\mathbb{N}; f(\alpha)\in \mathbb{N},~\alpha \in A\}.$$ Segue então que $D\subset \prod_{\alpha\in A}\mathbb{N}=\mathbb{N}^A.$
Vejamos agora que $D$ é denso em $\mathbb{N}^{A}$, pegue um aberto básico em $\mathbb{N}^A$, ou seja, da forma
$$B=\pi_{\alpha_1}^{-1}[U_{\alpha_1}]\cap \cdots \cap \pi_{\alpha_n}^{-1}[U_{\alpha_n}],$$ onde $U_{\alpha_i}$ são abertos em $\mathbb{N}$ que contém um ponto $a_i\in \mathbb{N}$. Logo existem $J_i$ intervalos com extremidades nos racionais contendo $\alpha_i$, para todo $i=1,\ldots,n.$ De modo que $a_i=f_{(a_i)_1^n,\{J_i\}_1^n}(\alpha_i)$, então $f_{(a_i)_1^n,\{J_i\}_1^n}$ pertence a $B.$ Finalmente, $D$ é denso, em outras palavras, toda função de $\mathbb{N}^A$ pode ser aproximada por funções de $D.$ Segue que $\mathbb{N}^A=\prod_{\alpha\in A}\mathbb{N}$ é separável.$~~~~~~~~~~~\square$
$$~~$$
Sabendo que $\mathbb{N}^A$ é separável, quando $|A|\le \mathfrak{c},$ podemos agora generalizar este fato:
Sejam $X_\alpha$ espaços separáveis, então $\prod_{\alpha\in A}X_\alpha$ é separável, se $|A|\le \mathfrak{c}.$
Demonstração. Primeiramente vejamos dois resultados que serão importantes:
$(i)$ Seja $D_\alpha\subset X_{\alpha}$ denso e enumerável, façamos $\{d_{\alpha1},d_{\alpha2},\ldots\}=D_\alpha$ uma enumeração de seus elementos. Como $|A|\le \mathfrak{c},$ então nós podemos fazer $A$ como um subconjunto do intervalo $]0,1[$. Para cada sequência $J_1,\ldots,J_k$ de intervalos fechados disjuntos com extremidades racionais e cada sequência $a_1,\ldots,a_k$ de inteiros positivos, e de maneira que todo elemento de $J_i$ é menor que todo elemento de $J_j$ se $i<j$. Defina $f_{(a_i)_1^k, \{J_i\}_1^k}: A\rightarrow D_\alpha$ por
$$f_{(a_i)_1^k,\{J_i\}_1^k}(\alpha)=d_{\alpha a_i},~~\text{se}~\alpha \in J_i,$$ $$f_{(a_i)_1^k,\{J_i\}_1^k}(\alpha)=d_{\alpha 1},~~~\text{caso contrário}.$$ Função que é parecida com a função construída construída anteriormente, no caso $D_\alpha=\mathbb{N}$. Seja $D$ o conjunto de todas essas funções com $k$ variando, vamos provar que $D\subset X$ é denso. Pegue um aberto básico em $\prod X_\alpha$, ele possui a forma
$$B=\pi_{\alpha_1}^{-1}[U_{\alpha_1}]\cap\cdots \cap \pi_{\alpha_m}^{-1}[U_{\alpha_m}],$$ onde $U_{\alpha_i}$ é um aberto em $X_{\alpha_i},$ $i=1,\ldots,m.$ Então pela densidade, $U_{\alpha_i}$ contém um ponto $d_{\alpha_i n_i}$ de $D_{\alpha_i},$ para cada $i$, e existem $J_1,\ldots,J_m$ contendo os pontos $\alpha_1,\ldots,\alpha_m$, respectivamente. Temos que $f_{(a_i)_1^m,\{J_i\}_1^m}$ pertence a $B$, desde que $f_{(a_i)_1^m,\{J_i\}_1^m}(\alpha_i)=d_{\alpha_ia_i},$ para todo $i=1,\ldots,m.$ Portanto, o conjunto $D$ é denso em $\prod_{\alpha\in A}X_\alpha$.
$(ii)$ Seja $\varphi_\alpha:\mathbb{N}\rightarrow D$ uma bijeção. $\mathbb{N}$ é um conjunto discreto, logo com a topologia induzida pela topologia usual dos reais, todo elemento de $\mathbb{N}$ é um aberto. Logo para todo $B$ aberto em $D$ temos que $\varphi_\alpha^{-1}[B]$ é uma coleção de subconjuntos unitários de $\mathbb{N}$, e portanto aberto em $\mathbb{N}$. Segue que $\varphi_\alpha$ é contínua para todo $\alpha\in A.$
Agora retornando à demonstração da Proposição 2. Suponha
$$f: \prod_{\alpha\in A} \mathbb{N}\rightarrow \prod_{\alpha \in A}D_\alpha$$ uma bijeção. Vamos provar que todo $\pi_\alpha \circ f:\prod_{\alpha}\mathbb{N}\rightarrow D_\alpha$ é contínua. De fato, seja $\rho_\alpha$ a projeção dos elementos de $\mathbb{N}^A$ na $\alpha-$ésima coordenada.
$$\rho_\alpha: \mathbb{N}^{A}\rightarrow \mathbb{N}.$$ Claro que $\rho_\alpha$ é contínua (e sobrejetora). Defina uma função $\varphi_\alpha: \mathbb{N}\rightarrow D_\alpha$ tal que $$\varphi_\alpha \circ\rho_\alpha =\pi_\alpha \circ f,$$ que é uma bijeção, pois $\pi_\alpha$ e $\rho_\alpha$ são projeções, e $f$ é bijeção. Portanto por $(ii)$ sabemos que é contínua. Logo $\pi_\alpha \circ f$ é contínua para todo $\alpha\in A$. Pelo Teorema 3.2.4 das notas de aula, segue que $f$ é contínua.
$\mathbb{N}^A$ é separável, sabemos que imagem de separável por função contínua é separável, e $\prod_{\alpha \in A} D_\alpha=D$ é denso por $(i)$. Sendo $D$ separável e denso em $X$, segue que $X=\prod_{\alpha\in A}X_\alpha$ é separável.$~~~~~~\square$