Proposição: $\prod_{\alpha \in A} \mathbb{N}$ é separável se $|A|\le |\mathbb{R}|=\mathfrak{c}.$
Demonstração: Já que $|A|\le \mathfrak{c},$ então sem perda de generalidade podemos supor que $A\subset \mathbb{R}$. Como $\mathbb{Q}$ é enumerável, temos que o conjunto dos intervalos abertos com extremidades nos racionais $V=\{]p,q[;~p,q\in \mathbb{Q},~p<q\}$ é um conjunto enumerável, e desde que $|\mathcal{B}_0|\le|V|$, segue que $\mathcal{B}_0$ é enumerável.
Agora, peguemos $\mathcal{B}_n=\{J\subset \mathcal{B}_0; |J|=n\}$ podemos definir uma bijeção entre $\mathcal{B}_n$ e $\mathcal{B}_0^n$, associando os conjuntos a $n-$uplas, desde que tenhamos uma ordem definida nos $J_i's$. Façamos então
$$\phi: \mathcal{B}_n\rightarrow \mathcal{B}_0^n$$ $$\{J_1,\ldots,J_n\}=J\mapsto (J_1,\ldots,J_n),$$ onde todo elemento de $J_i$ é menor que todo elemento de $J_j$ se $i<j.$ Portanto temos que $|\mathcal{B}_n|= \prod_{i=1}^n|\mathcal{B}_0|,$ e $\mathcal{B}_n$ é enumerável.
Para cada elemento $J=\{J_i\}_1^n=\{J_1,\ldots,J_n\}\in \mathcal{B}_n$ podemos associar um conjunto de $n-$uplas $\mathbb{N}^n=\{(a_1,\ldots,a_n); a_i\in \mathbb{N}\}.$ Logo, seja $D_n=\{f_{(a_i)_1^n,\{J_i\}_1^n}\},$ então $|D_n|=|\mathbb{N}^n|\cdot |\mathcal{B}_n|$, ou seja $D_n$ é enumerável. Segue facilmente que $D=\cup_{n=1}^\infty D_n $ também é enumerável.
Perceba que $\mathbb{N}^A$ é o conjunto de todos as funções $f:A\rightarrow \mathbb{N}$: $$\prod_{\alpha \in A} \mathbb{N} = \{(x_\alpha)_{\alpha\in A}; x_\alpha \in \mathbb{N}\}$$ $$=\{f: A\rightarrow \cup_{\alpha\in A}\mathbb{N}=\mathbb{N}; f(\alpha)\in \mathbb{N},~\alpha \in A\}.$$ Segue então que $D\subset \prod_{\alpha\in A}\mathbb{N}=\mathbb{N}^A.$
Por fim, pegue um aberto básico em $\mathbb{N}^A$, ou seja, da forma
$$B=\pi_{\alpha_1}^{-1}[U_{\alpha_1}]\cap \cdots \cap \pi_{\alpha_n}^{-1}[U_{\alpha_n}],$$ onde $U_{\alpha_i}$ são abertos em $\mathbb{N}$ que contém um ponto $a_i\in \mathbb{N}$. Logo existem $J_i$ intervalos com extremidades nos racionais contendo $\alpha_i$, para todo $i=1,\ldots,n.$ De modo que $a_i=f_{(a_i)_1^n,\{J_i\}_1^n}(\alpha_i)$ para todo $i,$ então $f_{(a_i)_1^n,\{J_i\}_1^n}$ pertence a $B.$ Finalmente, $D$ é denso, em outras palavras, toda função de $\mathbb{N}^A$ pode ser aproximada por funções de $D.$ Segue que $\mathbb{N}^A=\prod_{\alpha\in A}\mathbb{N}$ é separável. $~~~~~~~~~~~\square$