Queremos construir uma base de abertos e fechados para $X$. Recorde que todo espaço regular enumerável é normal (demonstração). Também, todo espaço regular é Hausdorff (demonstração). Seja $(X,\tau)$ um espaço regular enumerável. Sejam $x \in X$ e $V$ abertos tal que $x \in V$. Como $X$ é Hausdorff, temos que $\{x\}$ é um fechado. Também, como $V$ é aberto, temos $X - V$ fechado e disjunto de $\{x\}$. Assim, pelo lema de Urysohn, existe $f: X \rightarrow [0,1]$ contínua tal que $f(x) = 0$ e $f([X - V]) = \{1\}$.

Agora, note que, como $X$ é enumerável e $f$ é contínua, $f[X]$ também é enumerável. Assim, existe $a \in [0,1]$ tal que $a \notin f[X]$ (caso contrário, $f[X]$ seria não enumerável). Mas, então, não existe $x_0 \in X$ tal que $f(x_0) = a$, isto é, $f^{-1}([0,a]) = f^{-1}([0,a[)$.

Como $f$ é contínua, pré-imagem de fechado é fechado, isto é, $f^{-1}([0,a]) = f^{-1}([0,a[)$ é fechado. Também, pré-imagem de aberto é aberto, isto é, $f^{-1}([0,a]) = f^{-1}([0,a[)$ é aberto. Logo, existe um aberto fechado $W = f^{-1}([0,a[)$ tal que $x \in W$ (pois $f(x) = 0$) e, como $f$ é contínua, $x \in W \subset V$. Dessa forma, mostramos que para todo $x \in X$ e $V$ vizinhança de $x$ existe um aberto fechado $W$ tal que $x \in W \subset V$. Portanto, o conjunto de todos esses abertos fechados formam uma base de abertos fechados para $X$.