topologia:ptoacumulu

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Pontos de Acumulação
- - Proposição:
  - Proposição:
Ponto de acumulação Completo
Discussão

Pontos de Acumulação

Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico, dizemos que $x \in X$ é um ponto de acumulação de $A \subset X$ se $x \in \overline{A \setminus \{x\}}$.

Outra forma de se enxergar, é :

$x$ é um ponto de acumulação de $A$ se $x$ não é um ponto isolado em $A$.

Proposição:

Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico $T_1$, então $x \in X$ é um ponto de acumulação de $A \subset X$ se, e somente se, para todo $V$ aberto tal que $x \in V$ temos que $V \cap A$ é infinito Solução.

Proposição:

Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico compacto, então todo subconjunto infinito admite ponto de acumulaçãoSolução.

Ponto de acumulação Completo

Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico, dizemos que $x \in X$ é um ponto de acumulação completo de $A \subset X$ se, para todo $V$ aberto tal que $x \in V$, temos que $|V\cap A|=|A|$.

Dizemos que uma ordem $\leq$ é uma boa ordem se todo subconjunto não vazio admite mínimo.\

Todo conjunto admite uma boa ordem.
Todo conjunto admite uma boa ordem $\leq$ tal que, para todo $x \in X$, $|\{y\in X:y<x\}|<|X|$.

Proposição:

Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico compacto, então todo subconjunto infinito de $X$ admite um ponto de acumulação completoSolução.

Proposição:

Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico tal que todo subconjunto infinito admite ponto de acumulação completo, então $X$ é compactoSolução.

Exemplos e curisidades:

Chamamos de derivado de um conjunto $X$, o conjunto de seus pontos de acumulação, denotado por $X'$
$X$ é um conjunto fechado se, e somente se, $X' \subset X$ Solução.
Um ponto de acumulação de um conjunto não necessariamente pertence a ele, tomando $(0,2)$, um intervalo aberto nos reais, é fácil visualizar que o 2 é um ponto de acumulação, porém não pertence ao conjunto.