Seja \(x=(x_\alpha)_{\alpha \in A}\in \underset{\alpha\in A}{\Pi}X_\alpha\) e \(F\subset \underset{\alpha\in A}{\Pi}X_\alpha\) fechado tais que \(x\notin F\).

Seja \(V=\underset{\alpha\in A}{\Pi}V_\alpha\) aberto básico (ver Topologia Produto: Definição Geral) tal que \(x \in V \subset F^c\).

Seja \(G=\{\alpha \in A : V_\alpha \neq X_\alpha\}\) (o suporte de \(V\)), e para cada \(\alpha \in G\), seja \(f_\alpha: X_\alpha \rightarrow [0,1]\) contínua tal \(f_\alpha(x_\alpha)=0\) e \(f_\alpha(X_\alpha \setminus V_\alpha)=\{1\}\), onde usamos que cada \(X_\alpha\) é \(T_{3\frac{1}{2}}\) e \(x_\alpha \notin X_\alpha \setminus V_\alpha\).

Agora defina \(f:\underset{\alpha\in A}{\Pi}X_\alpha \rightarrow [0,1]\) pondo \(f((y_\beta)_{\beta \in A})=\text{max}\{f_\alpha(y_\alpha): \alpha \in G\}\). Essa é a função contínua que separa o ponto \(x\) do fechado \(F\). Note que \(f(x)=0\) trivialmente e \(f(F)=\{1\}\). De fato, se \((y_\beta)_{\beta \in A} \in F\subset V^c\), então \((y_\beta)_{\beta \in A} \notin V\), o que implica que \(y_{\alpha_0}\notin V_{\alpha_0}\) para algum \(\alpha_0\in A\), e necessariamente esse \(\alpha_0\) está em \(G\). Isso implica que \(f_{\alpha_0}(y_{\alpha_0})=1\) e \(f((y_\beta)_{\beta \in A})=1\).

Resta mostrar que \(f\) é contínua. De fato, \(f(x)=\text{max}\{f_\alpha(\pi_\alpha(x)):\alpha \in G\}= \text{max}\{g_\alpha(x): \alpha \in G\}\), onde \(g_\alpha=f_\alpha \circ \pi_\alpha\). Isso implica que \(f\) é contínua pois função máximo de finitas funções contínuas é contínua.