Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico paracompacto e de Hausdorff. Então $(X,\tau)$ é normal.

Prova: Primeiro vamos mostrar que $(X,\tau)$ é regular. Se $x\in X$ e $B$ é fechado tal que $x\notin B$, então $A=\{x\}$ e $B$ são fechados disjuntos e para cada $y\in B$, existem abertos separando $x$ e $y$, logo pelo lema anterior existem abertos separando $A$ e $B$, e $(X,\tau)$ é regular.

Agora, se $A$ e $B$ são fechados disjuntos quaisquer, a hipótese do lema anterior é automaticamente satisfeita já que $(X,\tau)$ é regular, então existem abertos que separam $A$ e $B$, donde $(X,\tau)$ é normal.