Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico paracompacto e $A$, $B\subset X$ fechados disjuntos. Suponha que para todo $x\in B$, existem abertos disjuntos $U_x$ e $V_x$ tais que $A\subset U_x$ e $x\in V_x$. Então existem abertos disjuntos $U$ e $V$ tais que $A\subset U$ e $B\subset V$.

Prova: Note que $\{V_x: x\in B\}\cup \{X\setminus B\}$ é uma cobertura aberta para $X$. Tome um refinamento localmente finito e aberto $\mathcal{R}$, e para cada $x\in B$, tome um elemento $W$ de $\mathcal{R}$ tal que $x\in W$. Forme $\mathcal{W}=\{W_s:s\in S\}$, o conjunto desses $W$'s. Como $\mathcal{W}\subset \mathcal{R}$, a família $\mathcal{W}$ é localmente finita, aberta e para qualquer elemento $W\in \mathcal{W}$, existe um elemento $V$ em $\{V_x: x\in B\}$ tal que $W\subset V$. Além disso $\mathcal{W}$ cobre $B$.

Como cada $W_s\subset V_x$ para algum $x\in B$, temos que $\overline{W_s}\subset \overline{V_x} \subset X\setminus U_x$, onde usamos que $U_x$ é aberto. Mas como $A\subset U_x$, temos que $\overline{W_s}\cap A =\varnothing$.

Seja $V=\bigcup_{s\in S}W_s $, que é aberto. Note que $B\subset V$. Pelo último lema, $V'=\bigcup_{s\in S}\overline{W_s}$ é fechado, então $U=X\setminus V'$ é aberto, $V\cap U =\varnothing$, e usando que $A\subset X\setminus \overline{W_s}$ para todo $s\in S$, temos $A\subset U$.