Seja $(X,\tau)$ um espaço completamente regular e $Y$ um compacto de Hausdorff tal que $X$ é homeomorfo a um subespaço denso de $Y$ (pelo isomorfismo $\Phi:X\rightarrow \Phi(X)\subset Y)$. Suponha que para toda função $f:X \rightarrow [0,1]$ contínua, existe $\tilde{f}:Y\rightarrow [0,1]$ extensão contínua de $f\circ \Phi^{-1}: \Phi(X)\rightarrow [0,1]$. Então para toda função contínua $f:X\rightarrow K$, com $K$ compacto Hausdorff, vale que existe $\tilde{f}:Y\rightarrow K$ contínua que estende $f\circ \Phi^{-1}: \Phi(X)\rightarrow K$.

Prova: Como $K$ é compacto e Hausdorff, temos que $K$ é completamente regular, logo homeomorfo a um subespaço de $[0,1]^I$ por um homeomorfismo $\Psi$ (ver Teorema da Imersão). Vamos mostrar a proposição supondo que $K\subset [0,1]^I$, e o caso geral pode ser obtido a partir desse caso particular através de composições das funções envolvidas com o homeomorfismo $\Psi$ e sua inversa.

Seja $K\subset [0,1]^I$ para algum conjunto $I$. Seja $f:X\rightarrow K$ contínua. Para cada $i\in I$, seja $f_i:X\rightarrow [0,1]$ dada por $f_i= \pi_i \circ f$. Por hipótese existe $\tilde{f}_i:Y\rightarrow [0,1]$ contínua que estende $f_i \circ \Phi^{-1}: \Phi(X)\rightarrow [0,1]$. Defina $\tilde{f}:Y\rightarrow [0,1]^I$ da seguinte forma: $\tilde{f}(y)=(\tilde{f}_i(y))_{i\in I}$ (uma função diagonal como vista em Teorema da Imersão). Como cada $\tilde{f}_i$ é contínua, temos que $\tilde{f}$ é contínua.

Temos que mostrar que $\tilde{f}$ estende $f\circ \Phi^{-1}: \Phi(X)\rightarrow K$. De fato, se $x\in \Phi(X)$, $x=\Phi(y)$ com $y\in X$, e $\tilde{f}(x)=(\tilde{f}_i(x))_{i\in I}=(f_i(\Phi^{-1}(x)))_{i\in I}= (f_i(y))_{i\in I}$. Além disso, $f\circ \Phi^{-1}(x)=f(y)=(\pi_i\circ f(y))_{i\in I}=(f_i(y))_{i\in I}$.

Por fim, mostremos que a imagem de $\tilde{f}$ está contida em $K$. Com efeito, $\tilde{f}(Y)=\tilde{f}(\overline{\Phi(X)}) \subset \overline{\tilde{f}(\Phi(X))}=\overline{f \circ \Phi^{-1}(\Phi(X))}=\overline{f(X)}\subset \overline{K}=K$, onde usamos que se $f:M\rightarrow N$ é contínua e $U\subset M$, então $f(\overline{U}) \subset \overline{f(U)}$, uma propriedade básica de funções contínuas.

E a prova está completa.