Seja $F$ como no enunciado. Pelo Exercício 7.5.1, podemos construir uma sequência $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ em $F$ e uma sequência $(V_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de abertos de $F$ disjuntos dois a dois com $a_n\in V_n\cap F$ para todo $n\in\mathbb{N}$. Segue que o conjunto $A\overset{\mathrm{def}}{=}\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{a_n\}$ é homeomorfo aos naturais, já que $A$ e $\mathbb{N}$ são discretos e enumeráveis.
Seja então uma função $g\colon A\to[0,1]$. Clamamos que $g$ pode ser extendida para $\overline{A}$. Defina um mapa $G\colon\mathbb{N}\to[0,1]$ por
$$
G(n)
\overset{\mathrm{def}}{=}
\begin{cases}
g(a_{k}) &\text{se $n\in V_{k}\cap\mathbb{N}$,}\\
0 &\text{caso contrário.}
\end{cases}
$$
Como $\mathbb{N}$ é discreto, segue que $G$ é contínua. Portanto, pela propriedade universal da compactificação de Stone–Čech, $G$ admite uma extensão $\tilde{G}\colon\beta\mathbb{N}\to[0,1]$. Para finalizar a demonstração, basta mostrarmos que a restrição de $\tilde{G}$ à $\overline{A}$ é uma extensão também de $g$. De fato, temos
\begin{align*}
\tilde{G}(a_{k}) &\in \tilde{G}(V_k)\\
&\subset \tilde{G}(\overline{V_{k}})\\
&= \tilde{G}(\overline{V_{k}\cap\mathbb{N}})\\
&\subset \tilde{\tilde{G}(V_{k}\cap\mathbb{N})}\\
&= \{g(a_k)\}.
\end{align*}
Logo $\tilde{G}(a_k)=g(a_k)$ para todo $a_k\in A$ e $\tilde{G}|_{A}=g$. Portanto $\tilde{G}|_{\overline{A}}$ é uma extensão de $g$ para $\overline{A}$.
Utilizando a propriedade universal da compactificação de Stone–Čech novamente, vemos que $\overline{A}\cong\beta\mathbb{N}$.