Seja $(X,\tau)$ um espaço completamente regular e $\beta X$ sua compactificação de Stone–Čech. Então:

1. $\beta X$ é um compacto de Hausdorff e $X$ é homeomorfo a um subespaço denso de $\beta X$.

Prova: Como $\beta X \subset [0,1]^\mathcal{F}$ e $[0,1]^\mathcal{F}$ é Hausdorff e compacto (pelo teorema de Tychonoff), segue que $\beta X$ é Hausdorff e compacto, já que um subespaço fechado de um compacto é compacto. A segunda afirmação segue diretamente da definição de $\beta X$.

1. Para toda $f:X\rightarrow [0,1]$ contínua, existe $\tilde{f}:\beta X \rightarrow [0,1]$ contínua que estende $f \circ \Delta^{-1}: \Delta X \rightarrow [0,1]$

Prova: Seja $g:X\rightarrow [0,1]$ contínua e $a \in \beta X \subset [0,1]^\mathcal{F}$. Escreva $a=(a_f)_{f\in \mathcal{F}}$ com cada $a_f\in [0,1]$, e defina $\tilde{g}:\beta X \rightarrow [0,1]$ pondo $\tilde{g}(a)=a_g$. Note que $\tilde{g}=\pi_g |_{\beta X}$, onde $\pi_g: [0,1]^\mathcal{F}\rightarrow [0,1]$ é a projeção na g-ésima coordenada, donde $\tilde{g}$ é contínua. Resta mostrar que $\tilde{g}$ estende $g \circ \Delta^{-1}: \Delta X \rightarrow [0,1]$. De fato, se $x\in \Delta X$, $x=\Delta y$ com $y\in X$, e $x=(f(y))_{f\in \mathcal{F}}$. Então $\tilde{g}(x)=\tilde{g}((f(y))_{f\in \mathcal{F}})=g(y)$, e $g\circ \Delta^{-1}(x)=g(y)$. Isso completa a prova.