Os seguintes exercícios conferem que se o produto é enumerável, os axiomas de enumerabilidade sobem. Ou seja, mostram a proposição:
Proposição: Produto Enumerável
Seja $((X_n , \tau_n))_{n \in \mathbb{N}}$ uma família de espaços que satisfazem o i-ésimo axioma de enumerabilidade. Então $\prod_{n \in \mathbb{N}}{X_n}$ também satisfaz o i-ésimo axioma de enumerabilidade.
Primeiro axioma de enumerabilidade (bases locais enumeráveis).
Seja $x = (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \prod_{n \in \mathbb{N}}{X_n}$ e $\mathcal{V}_n$ uma base local enumerável para cada $x_n$. Suponha s.p.g. que $X_n \in \mathcal{V}_n$ e defina $\mathcal{B} = \{\prod_{n \in \mathbb{N}}{V_n} : V_n \in \mathcal{V}_n, \{m \in \mathbb{N} : V_m \neq X_m\} \text{ é finito}\}$.
Segundo axioma de enumerabilidade (base enumerável).
Análogo a mostrar que vale para o caso do primeiro axioma.
Terceiro axioma de enumerabilidade (separabilidade).
Seja $D_n$ um denso enumerável em $X_n$, $n \in \mathbb{N}$. Fixe $x = (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \prod_{n \in \mathbb{N}}{X_n}$ arbitrário e defina $D = \{(y_n)_{n \in \mathbb{N}} : \exists F \subseteq \mathbb{N} \text{ finito, t.q. se } n \in F, y_n \in D_n, \text{ e se } n \notin F, y_n = x_n\}$.
Considerar apenas os abertos básicos é suficiente.
Vejamos agora como os últimos axiomas de separabilidade se comportam com relação ao produto, mostrando primeiramente a seguinte proposição através de exercícios.
Proposição: Produto de $T_{3 \frac{1}{2}}$
Se cada $((X_\alpha , \tau_\alpha))_{\alpha \in A}$ é $T_{3 \frac{1}{2}}$, então $\prod_{\alpha \in A}{X_\alpha}$ é $T_{3 \frac{1}{2}}$.
Seja $x = (x_\alpha)_{\alpha \in \mathbb{A}} \in \prod_{\alpha \in \mathbb{A}}{X_\alpha}$ e $F \subseteq \prod_{\alpha \in \mathbb{A}}{X_\alpha}$ fechado tal que $x \notin F$. Note que existe um aberto básico $V = \prod_{\alpha \in \mathbb{A}}{V_\alpha}$ tal que $x \in V$ e $V \cap F = \emptyset$.
Seja $G = \{\alpha \in A : V_\alpha \neq X_\alpha \}$. Para cada $\alpha \in G$, seja $f_\alpha : X_\alpha \to [0,1]$ contínua, com $f_\alpha(x_\alpha)= 0$ e $f_\alpha[X_\alpha \setminus V_\alpha] = \{1\}$ (estamos usando $T_{3 \frac{1}{2}}$ nas coordenadas $X_\alpha$). Considere $f : \prod_{\alpha \in \mathbb{A}}{X_\alpha} \to [0,1]$ dada por $f(y) =$ max{$f_\alpha(y_\alpha) : \alpha \in G$}, onde $y = (y_\beta)_{\beta \in A}$.
É útil definir uma familia de funções $g_\alpha = f_\alpha \circ \pi_\alpha$.
Se cada $g_\alpha(x)$ é continua, uma função definida por $f(x) =$ max{$g_\alpha(x) : \alpha \in G$} também é contínua?
Conferimos em seguida que o produto de espaços normais não é necessariamente normal, por meio de um contra-exemplo. Antes de começar, tome o seguinte lema como verdadeiro.
Lema: Lema de Jones
Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico separável. Se existe $D \subseteq X$ discreto, fechado e com a cardinalidade do contínuo, então $(X, \tau)$ não é $T_4$.
Definimos a Reta de Sorgenfrey como $\mathbb{R}_S = (\mathbb{R}, \tau)$, onde $\tau = \{A \subseteq \mathbb R: \forall a \in A \ \exists r > 0 \ \text{t.q.} \ [a, a + r[ \subseteq A\}$. Prove que $\mathbb{R}_S$ é um espaço normal.
Vamos entender por que $\mathbb{R}_S \times \mathbb{R}_S$ não é um espaço normal, através do Lema de Jones.
Mostre que $\mathbb{R}_S \times \mathbb{R}_S$ é separável.
Considere o conjunto $D = {(x, -x) : x \in \mathbb{R}_S}$.
Mostre que $D$ tem a cardinalidade do contínuo.
Mostre que $D$ é fechado.
Mostre que $D$ é discreto.
Mostre que os conjuntos unitários de $D$ são abertos, usando a topologia do subespaço.
Veremos a seguir que uma função a um espaço produto é contínua se e somente se ela possui componentes contínuas. Formalmente:
Proposição: Componentes Contínuas
$f: X \to \prod_{\alpha \in A}{X_\alpha}$ é contínua $\iff$ $\pi_\alpha \circ f$ é contínua, $\forall \alpha \in A$.
As projeções $\pi_\alpha$ são contínuas por definição.
Tente enxergar os domínios e contra-domínios de cada função.