Considere o espaço topológico $\mathbb{R}^{\mathbb{N}} = \prod_{n\in\mathbb{N}} \mathbb{R}$. Tome para cada $n \in \mathbb{N}$ o intervalo aberto $(0, 2+n) \subset \mathbb{R}$, vamos provar que o produto $A = \prod_{n\in\mathbb{N}} (0,2+n) \subset \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ não é aberto. Com efeito, se $A$ fosse aberto então seria uma união de abertos básicos (pois os abertos básicos formam uma base do espaço produto), logo, o elemento $x =(1,1,1,1, \ldots) \in A$ pertenceria a algum aberto básico $V = \prod_{n\in\mathbb{N}} V_n \subset A$, onde o conjunto $\{ n \in \mathbb{N} : V_n \neq \mathbb{R} \}$ é finito (este conjunto é o suporte). Tome $k \in \mathbb{N}$ fora do suporte e considere a sequência $y = (y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ definida por $$ y_n = 1, \text{ se } n \neq k ~~~ \text{ e }~~~ y_k = -2.$$ É visto que $y \notin A$, pois $y_k = -2 \notin (0, 2+k)$. Além disso, $y \in V$, uma vez que $y_n \in \mathbb{R} = V_n$ para $n$ fora do suporte, e quando $n$ está no suporte, temos $y_n = x_n = 1 \in V_n$, pois $x\in V$. Isso contraria o fato de que $V \subset A$, portanto, $A$ não pode ser aberto.