Considere $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ dada por $f(x)=\frac{1}{x}$ se $x\neq 0$ e $f(x)=0$, caso contrário. Note que o gráfico de $f$ é fechado em $\mathbb{R}$ mas que $f$ não é contínua.

Com efeito, a imagem inversa do aberto $]-1,1[$ é $]-\infty,-1[\cup\{0\}\cup]1,\infty[$, que não é aberto, então $f$ não é contínua. Ademais, o gráfico de $f$ é o conjunto $\Gamma=\{(x,\frac{1}{x}):x\in\mathbb{R}\backslash\{0\}\}\cup\{(0,0)\}$. Como $\mathbb{R}$ é $T_1$, temos $\{(0,0)\}$ fechado. Ademais $\{(x,\frac{1}{x}):x\in\mathbb{R}\backslash\{0\}\}$ é fechado por ser gráfico da função contínua $g:\mathbb{R}\backslash\{0\}\rightarrow\mathbb{R}$ dada por $g(x)=\frac{1}{x}$. Segue $\Gamma$ fechado.