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Produto finito entre espaços topológicos
Vamos tratar do produto entre dois espaços topológicos, mas podemos generalizar (finitamente) o que segue via indução.
Definição
Sejam $(X,\tau)$ e $(Y,\sigma)$ espaços topológicos. Definimos a topologia produto sobre $X\times Y$ como a topologia gerada pelos conjuntos da forma $A\times B$, em que $A\in\tau$ e $B\in\sigma$.
Pergunta: todo aberto de $X\times Y$ é um conjunto da forma $A\times B$? Pense em $\mathbb{R}^2$ com a topologia usual.
Se $\mathcal{B_1}$ e $\mathcal{B_2}$ são bases para $(X,\tau)$ e $(Y,\sigma)$, respectivamente, então $\mathcal{B}=\{B_1\times B_2:B_1\in\mathcal{B_1},B_2\in\mathcal{B_2}\}$ é base para $X\times Y$. Demo.
Proposição
Se $(X,\tau)$ e $(Y,\sigma)$ são espaços de Hausdorff, então $X\times Y$ é espaço de Hausdorff. Demo.