Vamos usar um caso particular do Lema de Jones. Afirmo que \(D=\{(x,-x):x\in \mathbb{R}_S\}\subset \mathbb{R}_S \times \mathbb{R}_S\) é fechado, discreto e tem cardinalidade do contínuo, e como \(\mathbb{R}_S \times \mathbb{R}_S\) é separável (ver Os axiomas de enumerabilidade são preservados por produtos enumeráveis.), temos que \(\mathbb{R}_S \times \mathbb{R}_S\) não é normal.

• \(D\) é fechado: Seja \((x,y)\in D^c\), se \(y>-x\), defina \(A=[x,x+1)\times [y,y+1)\), e se \(y\lt -x\), tome \(r=|x+y|\) e defina \(A=[x,x+\frac{r}{2}) \times [y,y+\frac{r}{2})\). Em ambos os casos, \(A\) é aberto e está contido em \(D^c\). Para provar o segundo caso, faça um desenho do triângulo formado pelos pontos \((x,y)\), \((x,-x)\) e \((-y,y)\), note que esse triângulo é isósceles com catetos medindo \(r\) e divida o triângulo em dois traçando a altura referente ao ponto \((x,y)\); em seguida, conclua.
• A topologia do conjunto \(D\) é a discreta, pois contém todos os singletos. De fato, se \(\{(x,-x)\}\subset D\), o conjunto \([x,x+1)\times[-x,-x+1)\bigcap D = \{(x,-x)\}\) é um aberto de \(D\).