Partições da unidade

Definição 1

Uma partição da unidade em $X$ é uma família $(f_{s})_{s\in S}$ de funções contínuas $f_s\colon X\to[0,1]$ tal que, para cada $x\in X$, temos $$ \sum_{s\in S}f_s(x) = 1. $$

Exemplo 2

A imagem a seguir (Wikimedia Commons) ilustra uma partição da unidade de $S^1$ com quatro funções:

Definição 3

Uma partição da unidade $(f_{s})_{s\in S}$ em $X$ é localmente finita se a coleção $$\left\{f^{-1}_s((0,1])\middle|s\in S\right\}$$ é localmente finita.

Definição 4

Uma partição da unidade $(f_{s})_{s\in S}$ em $X$ é subordinada à uma cobertura $\mathcal{C}$ se para cada $s\in S$, existe $U\in\mathcal{C}$ tal que $f^{-1}_s((0,1])\subset U$.

Lema 5

Seja $X$ regular tal que toda cobertura aberta de $X$ admite um refinamento localmente finito (não necessariamente aberto/fechado). Então para toda cobertura aberta $\mathcal{U}=\{U_s\}_{s\in S}$ de $X$, existe uma cobertura fechada localmente finita $\mathcal{F}=\{F_s\}_{s\in S}$ de $X$ tal que, para todo $s\in S$, temos $F_s\subset U_s$.

Ideia da demonstração. Tomando $\mathcal{U}$ como no enunciado, podemos formar uma cobertura aberta $\mathcal{W}$ de $X$ tal que $\overline{\mathcal{W}}=\{\overline{W}|W\in\mathcal{W}\}$ refina $\mathcal{U}$. Podemos também construir uma família $\mathcal{A}=\{A_t\}_{t\in T}$ a partir de $\mathcal{W}$ que refina $\mathcal{W}$ e é localmente finita. Defina então $s\colon T\to S$ de forma que $\overline{A_{t}}\subset U_{s(t)}$ (isso é possível pois $\mathcal{A}$ refina $\mathcal{W}$ e $\overline{\mathcal{W}}$ refina $\mathcal{U}$). Definimos então $$ F_s \overset{\mathrm{def}}{=} \bigcup_{s(t)=s}\overline{A_{t}}. $$ Como $F_s$ é localmente finita, e cada $\overline{A_{t}}$ é fechado, segue que $F_s$ também é fechado. Além disso, como $\overline{A_{t}}$ refina $U_{s(t)}$ e $\overline{A_t}\subset U_{s(t)}$, segue que $F_s$ refina $U_s$. Por fim, como a condição $s(t)=s$ esgota todos os $\overline{A}_t$'s e $\mathcal{A}$ é uma cobertura de $X$, segue que $\{F_s\}_{s\in S}$ também é uma cobertura de $X$.

Lema 6

Seja $X$ um espaço topológico e $\mathcal{U}$ uma cobertura aberta de $X$. Se existe uma partição da unidade $(f_s)_{s\in S}$ de $X$ subordinada a $\mathcal{U}$ (não necessariamente localmente finita), então $\mathcal{U}$ admite um refinamento aberto localmente finito.

Ideia da demonstração. Utilizando o truque

Para toda função contínua $g\colon X\to[0,1]$ e para qualquer $x_0\in X$ tal que $g(x_0)>0$, existirão
* $U$ aberto tal que $x_0\in U$;
* $S'\subset S$ finito tal que para todo $s\in S\setminus S'$ e todo $x\in U$, temos $f_s(x)<g(x)$.

construímos uma subfamília de $(f_s)_{s\in S}$ localmente finita, a partir da qual temos o resultado.

Teorema 7

Seja $X$ um espaço $T_1$. As condições seguintes são equivalentes:

O espaço $X$ é paracompacto e Hausdorff.
Toda cobertura aberta $\mathcal{U}$ de $X$ admite uma partição da unidade localmente finita subordinada a $\mathcal{U}$.
Toda cobertura aberta $\mathcal{U}$ de $X$ admite uma partição da unidade subordinada a $\mathcal{U}$.

Ideia da demonstração. Temos que $(1)\iff(2)\iff(3)$:

$(1)\implies(2)$: Como $X$ é paracompacto, toda cobertura aberta $\mathcal{U}=\{U_s\}_{s\in S}$ admite um refinamento localmente finito. Desta forma, pelo Lema 5, obtemos um refinamento $\mathcal{F}=\{F_s\}_{s\in S}$ de $\mathcal{U}$. Utilizando o Lema de Urysohn, podemos então construir a partição da unidade localmente finita subordinada à $\mathcal{U}$ desejada.
$(2)\implies(3)$: Imediato.
$(3)\implies(1)$: A paracompacidade de $X$ a partir de $(3)$ é imediata. Para provar que $X$ é Hausdorff, tomamos, dados $x_1,x_2\in X$, a cobertura $\mathcal{U}$ de $X$ definida por $\mathcal{U}\overset{\mathrm{def}}{=}\{X\setminus\{x_1\},X\setminus\{x_2\}\}$. Por hipótese, $\mathcal{U}$ admite uma partição da unidade subordinada a ela, a partir da qual mostramos que $x_1$ e $x_2$ admitem uma separação por abertos disjuntos de $X$.