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Paracompactos
Definição 1: Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico. Dizemos que uma família $\mathcal{F}\subset \mathcal{P}(X)$ é localmente finita se, para todo $x\in X$, existe $A$ aberto tal que $x\in A$ e $\{F\in \mathcal{F}: \, A\cap F \neq \varnothing\}$ é finito.
Ou seja, a família $\mathcal{F}\subset \mathcal{P}(X)$ é localmente finita se cada ponto do espaço tem uma vizinhança aberta onde só se consegue avistar uma quantidade finita de conjuntos de $\mathcal{F}$.
Família $\mathcal{F}$ localmente finita.
Definição 2: Sejam $(X,\tau)$ um espaço topológico e $\mathcal{C}$ uma cobertura para $X$. Dizemos que $\mathcal{F}\subset \mathcal{P}(X)$ é um refinamento para $\mathcal{C}$ se $\mathcal{F}$ cobre $X$ e para todo $F\in \mathcal{F}$, existe $C_F \in \mathcal{C}$ tal que $F\subset C_F$.
Exemplo de refinamento $\mathcal{F}$ da cobertura $\mathcal{C}$ de $X$.
Definição 3: Dizemos que $(X,\tau)$ é paracompacto se toda cobertura aberta de $X$ admite um refinamento aberto localmente finito.
Note que as noções de “refinamento” e de ser “localmente finito” foram adicionadas para relaxar as condições de “subcobertura” e finitude que caracterizam a definição de compacto. É fácil ver que qualquer subcobertura é um refinamento e que uma família finita é localmente finita, logo qualquer compacto é paracompacto. Mas ser paracompacto é algo muito mais fácil que ser compacto — em particular qualquer espaço métrico é paracompacto.
Proposição 4:
Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico regular com base enumerável. Então $(X,\tau)$ é paracompacto.
Já vimos que para uma família finita de conjuntos $\mathcal{F}$ vale $\bigcup_{F\in \mathcal{F}}\overline{F}= \overline{\bigcup_{F\in \mathcal{F}}F}$. Veremos adiante que isso vale também para famílias localmente finitas.
Lema 5:
Seja $\mathcal{F}$ localmente finita. Então $\bigcup_{F\in \mathcal{F}}\overline{F}= \overline{\bigcup_{F\in \mathcal{F}}F}$. Em particular, a união de uma família localmente finita fechada é fechada.
Iremos provar em breve que um espaço de Hausdorff paracompacto é normal. A técnica é semelhante à usada para mostrar que um espaço de Hausdorff compacto é normal. Inicialmente precisamos de condições para poder separar dois fechados disjuntos em um espaço paracompacto.
Lema 6:
Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico paracompacto e $A$, $B\subset X$ fechados disjuntos. Suponha que para todo $x\in B$, existem abertos disjuntos $U_x$ e $V_x$ tais que $A\subset U_x$ e $x\in V_x$. Então existem abertos disjuntos $U$ e $V$ tais que $A\subset U$ e $B\subset V$.
Teorema 7:
Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico paracompacto e de Hausdorff. Então $(X,\tau)$ é normal.