Suponha que não. Então existem $a,b\in X$ com $a< b$ tais que não existe $c\in X$ com $a< c< b$. Considere os abertos $A=]a,+\infty[$ e $B=]-\infty,b[$. Como $b\in A$ e $a\in B$, tem-se $A,B\neq\emptyset$. Ademais, $A\cup B=X$ e, por hipótese, $A\cap B=]a,b[=\emptyset$. Mas isso implica em $X$ não conexo. Contradição.
Suponha que não. Então existe $A\subset X$ não vazio limitado superiormente que não admite supremo. Sejam $S$ o conjunto das cotas superiores de $A$ e $R$ o conjunto das cotas inferiores de $S$. Como $A$ tem limitante superior, temos $S\neq\emptyset$. Como $a<s$ para todo $a\in A,s\in S$, segue $A\subset R$, logo $R\neq\emptyset$. Ademais, $S\cap R=\emptyset$: de fato, suponha que não e seja $x\in S\cap R$; então $x$ é mínimo de $S$, logo $x=\sup A$. Vamos provar que $S$ é aberto. Seja $s\in S$. Como $s$ não é supremo de $A$, existe $s_0\in S$ com $s_0<s$. Como $x\in S$ para todo $s_0<x$, tem-se $s\in]s_0,+\infty[\subset S$, donde $S$ é aberto. Analogamente, mostra-se que $R$ é aberto. Seja $r\in R$. Como $r\not\in S$, existe $a\in A$ com $r<a$. Disso vem $r\in]-\infty,a[\subset R$, logo $R$ é aberto. Finalmente, $R\cup S=X$ e segue $X$ não conexo. Contradição.