Demonstração. De fato, fixe $y\in\omega_1$ e suponha que $]y, x+1[$ não é compacto para algum $x\in\omega_1$, $y\prec x$. Seja $x_0 = \min\{x\in\omega_1:~]y, x+1[$ não é compacto$, y\prec x\}$. Considere uma cobertura $\mathcal{C}$ em $\omega_1$ de $]y, x_0+1[$ formada por abertos básicos. Como $x_0\in ]y, x_0+1[$, existe $]a, b[\in \mathcal{C}$, $a, b\in\omega_1$, $a\prec b$, com $x_0\in ]a, b[$. Como $a\prec x_0$, temos $]y, a+1[$ é compacto, logo, existe uma subcobertura finita $\mathcal{C}'$ de $\mathcal{C}$ para $]y, a+1[$. Além disso, é claro que $\mathcal{C}'\cup \{~]a, b[~\}$ é subcobertura de $\mathcal{C}$ para $]y, x_0+1[$. Absurdo!

Demonstração. Dado $x\in \omega_1$, já vimos aqui que o conjunto $\mathcal{B}_x := \{~]y, x+1[~: y\in\omega_1, y\prec x\}$ é base local de $x$. Como $]y, x+1[$, $x, y\in\omega_1$, $y\prec x$, é compacto, $\mathcal{B}_x$ será uma base local compacta de $x$.

Segue que $\omega_1$ é localmente compacto.