Demonstração. Para cada $x\in\omega_1$, temos $\{x+1\} = ]x, x+2[$ é aberto, isto é, $x+1$ é um ponto isolado. É claro que, para $x_1, x_2\in\omega_1$, $x_1\neq x_2$ implica $x_1+1\neq x_2+1$, portanto, a cada elemento $x$ de $\omega_1$ podemos relacionar um ponto isolado distinto $x+1$ de $\omega_1$. Dessa forma, como $\omega_1$ é não enumerável, o número de pontos isolados de $\omega_1$ será não enumerável. Ademais, é fácil ver que qualquer subconjunto denso de um espaço topológico deve conter todos os seus pontos isolados.

Segue que $\omega_1$ não possui subconjunto denso enumerável, i.e., não é separável.