Demonstração. Seja $x\in\omega_1$. Afirmamos que $\mathcal{B}_x := \{]y, x+1[: y\in\omega_1, y\prec x\}$ é uma base local enumerável (ou menor) para $x$. De fato

• $\mathcal{B}_x$ é enumerável, pois $\{y\in\omega_1: y\prec x\}$ é finito ou enumerável.
• $\mathcal{B}_x$ é base local para $x$, pois, dado $]a, b[$ aberto básico, $a, b\in X\cup\{\pm \infty\}$, $a\prec b$, com $x\in]a, b[$ (i.e., $a\prec x\prec b$), temos $x\in]a, x+1[\subset ]a, b[$ (pois $x+1\preceq b$), sendo que $]a, x+1[\in\mathcal{B}_x$.

Segue que $\omega_1$ possui base local enumerável.