Esta definição servirá para uma caracterização da conxidade.
Seja un espaço topológico $(X,\tau)$. Dizemos que $A,B\subset X$ são mutuamente separados se $\overline{A}\cap B=\emptyset$ e $\overline{B}\cap A=\emptyset$.
Note que se $A,B\subset X$ são mutuamente separados então $A$ y $B$ são disjuntos, mas o recíproca não é satisfeita, pois se considerarmos $A=< -\infty ;0>$ y $B=[0;\infty>$ são disjuntos, mas $\overline{A}\cap B=\{0\}\neq\emptyset$ .
Seja $(X,\tau)$ espaço topológico. Então $Y\subset X$ é conexo se, e somente se, não existem $A,B\subset X$ mutuamente separados tais que $Y=A\cup B$. Demonstração
Seja $(X,\tau)$ espaço topológico. Se $Y\subset X$ conexo e $A,B\subset X$ são mutuamente separados tal que $Y\subset A\cup B$, então $Y \subset A$ o $Y \subset B$. Demonstração
Seja $(X,\tau)$ espaço topológico.
a) Se $X=\cup_{i\in I}X_i$ e $X_i$ é conexo para cada $i\in I$ tal que $X_i\cap X_j\neq\emptyset$ para todo $i,j\in I$, então $X$ é conexo.
b) Se para cada $x,y\in X$ existe $A\subset X$ conexo tal que $x,y\in A$, então $X$ é conexo.
Demonstração
Seja $(X,\tau)$ espaço topológico. Se $A\subset X$ é conexo y $A\subset B\subset\overline{A}$, então $B$ é conexo. Demonstração