- O espaço $\left\{ \dfrac{1}{n}: n \in \mathbb{N}>0 \right\} \subset \mathbb{R}$ com a métrica induzida não é completo. Mas note que a métrica discreta induz a mesma topologia. Portanto é completamente metrizável. - $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}_S$ é metrizável

* Sejam $((X_n, d_n))_{n \in \mathbb{N}}$ espaços métricos tal que cada $d_n$ é uma métrica limitada por $1$. Então $d: \prod_{n \in \mathbb{N}} X_n \times \prod_{n \in \mathbb{N}} X_n \rightarrow [0, \infty)$ dada por $d( (x_n)_{n \in \mathbb{N}}, (y_n)_{n \in \mathbb{N}}) = \sum \frac{d_n(x_n, y_n)}{2^{n+1}}$ é uma métrica que induz a topologia produto. Além disso, se cada $d_n$ é completa, $d$ é completa.

*Existe uma métrica completa sobre $[0,1]^{\mathbb{N}} = \prod_{n \in \mathbb{N}}[0,1]$ que induz a topologia produto deste espaço.

*Seja $X$ um espaço $T_1$. São equivalentes:

a) $X$ é $T_3$ e tem base enumerável.

b) $X$ é separável e metrizável.

c) $X$ é homeomorfo a um subespaço de $\prod_{n \in \mathbb{N}}[0,1]$.

• b) $\rightarrow$ a) Mostre que espaços métricos são $T_3$ e que separabilidade implica em base enumerável para espaços métricos.
• c) $\rightarrow$ b) Perceba que $X$ é metrico utilizando a hipótese e que, como $\prod_{n \in \mathbb{N}}[0,1]$ é separável, possui base enumerável e, por transitividade, $X$ é separável.
• a) $\rightarrow$ c) Seja $\beta = \{B_n, n \in \mathbb{N}\}$ a base enumerável e considere $A = \{(n, m), \overline{B}_n \subset B_m \}$.
• Mostre que $X$ é $T_4$ e utilize a caracterização de função da forma $(n, m) \in A, f_{n, m}: X \rightarrow [0,1]$ contínua tal que $f_{n, m}\Big|_{B_n} = 0$ e $f_{n, m}\Big|_{X - B_m} = 1$
• Mostre que $\mathcal{F} = \{f_{n, m}, (n,m) \in A\}$ separa pontos e separa pontos de fechados e utilize o Teorema da imersão para concluir o exercício.

*Seja $X$ métrico completo. Seja $A \subset X$ aberto, então $A$ é completamente metrizável.

• Defina $g: X \rightarrow \mathbb{R}, g(x) = d(x, X - A)$ e mostre que $g$ é contínua e que $g(A) > 0$.
• Defina $f:A \rightarrow \mathbb{R}, f(a) = \frac{1}{g(a)}$, mostre que $f$ é contínua e estritamente positiva.
• Defina $G = \{(x, f(x)), x \in A\} \subset X \times \mathbb{R}$. Prove que $G$ é completo.
• Mostre que $h: A \rightarrow G, h(a) = (a, f(a))$ é homeomorfismo e conclua o exercício.

*Seja $X$ métrica, seja $G\subset X, G_{\delta}$. Então $G$ é completamente metrizável.

• Sejam $A_n$ os abertos tais que $G = \cap_{n \in \mathbb{N}} A_n$
• Tome $d_n$ a métrica completa sobre $A_n$, perceba que podemos limita-la por 1 e que $\prod{n \in \mathbb{N}} A_n$ possui métrica completa.
• Perceba que o conjunto $\Delta = \{(a, \ldots, a) \in \prod_{n \in \mathbb{N}}A_n , a \in \cap_{n \in \mathbb{N}} A_n\}$ é fechado em $\prod_{n \in \mathbb{N}}A_n$.
• Mostre que $f: G \rightarrow \Delta, f(a) = (a, \ldots, a)$ é homeomorfismo.

*$\mathbb{R} - \mathbb{Q}$ é completamente metrizável.

• Escreva os irracionais como um conjunto $G_{\delta}$ e utilize o Teorema Anterior.