Demonstração: Fixe $\mathcal{C}$ uma cobertura aberta do espaço métrico $(X,d)$ e seja $\preceq$ uma boa ordem sobre $\mathcal{C}$ (lembre-se que tal ordem existe pelo axioma da escolha). Para cada $C \in \mathcal{C}$, defina a família $(D_n(C))_{n\in\mathbb{N}_{>0}}$ por indução da seguinte forma:

• Para $n=1$ e para cada $C \in \mathcal{C}$, $D_1(C) = \bigcup_{x\in A_1}B_{\frac{1}{2}}(x)$, onde $$A_1=\{x \in C : C = \min\{C'\in\mathcal{C} : x\in C'\} \quad \text{e} \quad B_{\frac{3}{2}}(x) \subset C\}.$$
• Suponha definidos $D_k(C)$ para todo $k<n$ e todo $C \in \mathcal{C}$. Defina $D_n(C) = \bigcup_{x\in A_n}B_{\frac{1}{2^n}}(x)$, onde $$A_n=\{x \in C : C = \min\{C'\in\mathcal{C} : x\in C'\},\; x \notin D_k(C'),\; \text{para qualquer}\; k < n\; \text{e}\; C'\in\mathcal{C} \quad \text{e} \quad B_{\frac{3}{2^n}}(x) \subset C\}.$$

Para mostrar que $(X,d)$ é paracompacto, vamos mostrar que $\{D_n(C) : n\in\mathbb{N}_{>0}, C \in \mathcal{C}\}$ é um refinamento aberto de $\mathcal{C}$ localmente finito. Seja $x \in X$ e tome $C = \min\{C' \in \mathcal{C}: x \in C'\}$. Perceba que existe $n\in \mathbb{N}_{>0}$ de forma que $B_{\frac{3}{2^n}}(x) \subset C$ (pois $C$ é aberto). Desta forma, da maneira que foi definido, note que $x\in D_n(C)$ ou $x \in D_k(C')$ para algum $k\leq n$ e $C' \in \mathcal{C}$. Portanto, como $D_n(C) \subset C$, para todo $n \in \mathbb{N}_{>0}$, concluímos que $\{D_n(C) : n\in\mathbb{N}_{>0}, C \in \mathcal{C}\}$ é, de fato, um refinamento aberto (pois é união de bolas abertas) de $\mathcal C$.

Resta mostrar que $\{D_n(C) : n\in\mathbb{N}_{>0}, C \in \mathcal{C}\}$ é localmente finito. Para isto, tome $x \in X$ e $C = \min\{C' \in \mathcal{C} : x \in D_n(C'), \; \text{para algum}\; n\in\mathbb{N}_{>0}\}$. Seja $j \in \mathbb{N}_{>0}$ tal que $B_{\frac{1}{2^j}}(x) \subset D_n(C)$, onde $n$ é tal que $x \in D_n(C)$. Perceba que devemos mostrar as seguintes afirmações:

1. Se $i\geq n+j$, então $B_{\frac{1}{2^{n+j}}}(x)$ não intersecta $D_i(C')$, para todo $C'\in\mathcal{C}$.
2. Se $i < n+j$, então $B_{\frac{1}{2^{n+j}}}(x)$ intersecta $D_i(C')$ para, no máximo, um $C'\in\mathcal{C}$.

Para demonstrar (1), note que, como $n \leq i$, toda bola que resultará na união definida por $D_i(C')$ tem centro fora de $D_n(C)$. Desta forma, como $B_{\frac{1}{2^j}}(x) \subset D_n(C)$, então $d(x,y) \geq \frac{1}{2^j}$, para todo $y$ que for centro de alguma bola usada na união da definição de $D_i(C')$. Como $i\geq j+1$ e $n+j\geq j+1$, concluímos que $B_{\frac{1}{2^{n+j}}}(x) \cap B_{\frac{1}{2^i}}(y) = \emptyset$.
Finalmente, para demonstrar (2), tome $p \in D_i(E)$ e $q \in D_i(F)$ com $E \prec F$ ($E \preceq F$ e $E \neq F$). Perceba que existe $y$ tal que $p \in B_{\frac{1}{2^i}}(y) \subset D_i(E)$ e $B_{\frac{3}{2^i}}(y) \subset E$. Da mesma forma, existe $z$ tal que $q \in B_{\frac{1}{2^i}}(z) \subset D_i(F)$. Como $E \prec F$, note que $z \notin E$. Portanto, $d(y,z)\geq \frac{3}{2^i}$. Logo, perceba que $$\frac{3}{2^i} \leq d(y,z) \leq d(y,p) + d(p,q) + d(q,z) \leq \frac{2}{2^i} + d(p,q),$$ isto é, $d(p,q) \geq \frac{1}{2^i} \geq \frac{1}{2^{n+j-1}}$. Portanto, $B_{\frac{1}{2^{n+j}}}(x)$ intersecta $D_i(C')$ para, no máximo, um $C'\in\mathcal{C}$. Logo, $(X,d)$ é paracompacto.