Neste exemplo apresentaremos uma caracterização para um dado conjunto $K \subset \mathbb{R}$ através de funções contínuas limitadas.
Seja $K \subset \mathbb{R}$ um conjunto em que todas as funções $f: K \to \mathbb{R}$ contínuas sejam limitadas. Então, $K$ é compacto.
Demonstração: Seja $Id: K \to \mathbb{R}$ a função identidade; claramente tal função é contínua. Assim, $Id(K) = K$ é limitado. Suponha agora que $K$ não seja fechado. Então, $K \neq \overline{K}$. Seja $x_0 \in \overline{K} \setminus K$. Defina a função $f: \mathbb{R} \setminus \{ x_0 \} \to \mathbb{R}$ como $$f(x) = \dfrac{1}{x-x_0}.$$ Tome a restrição de $f$ ao conjunto $K$, e note que, como $x_0$ é um ponto aderente, tem-se que, numa vizinhança de $x_0$ em $K$, a função $f$ não é limitada, pois $$\lim_{x \to x_0} \dfrac{1}{x-x_0} = \infty.$$ Contradição. Portanto $K \subset \mathbb{R}$ é fechado e limitado, logo, compacto.