Ao tratarmos do conceito de continuidade, construímos a noção de espaços homeomorfos. Agora, com o conceito de homotopia, podemos fazer uma generalização para aquela ideia de espaços homeomorfos, definindo o conceito de espaços homotopicamente equivalentes.
Dizemos que dois espaços topológicos $X, Y$ são homotopicamente equivalentes se existirem funções $f:X \to Y$ e $g:Y \to X$ tais que $f \circ g \simeq Id_Y$ e $g \circ f \simeq Id_X $.
Repare que, no caso particular de $X$ e $Y$ serem espaços homeomorfos, temos que existem funções $f: X \to Y,~ g: Y\to X$ tais que $f\circ g = Id_Y, ~g\circ f = Id_X$, o que implica que $X$ e $Y$ são homotopicamente equivalentes. Assim, vemos que, de fato, o conceito de espaços homotopicamente equivalentes é uma generalização do conceito de espaços homeomorfos.
Seja $X$ um espaço topológico. $X$ é contrátil se, e somente se, $X$ é homotopicamente equivalente a um espaço unitário. Demonstração
A proposição anterior ainda pode ser feita de uma maneira mais geral. Para tanto, vamos usar a seguinte definição:
Seja $X$ um espaço topológico e $A\subset X$ um subespaço. Uma função $r: X \to A$ é dita retração se $r(a) = a, \forall a \in A$. Se, além disso, tivermos que $r \simeq Id_X$, então chamamos $r$ de retração de deformação.
A partir disso, podemos formular a seguinte proposição:
Sejam $X$ espaço topológico, $A\subset X$ e $r: A \to X$ uma retração de deformação. Então $A$ e $X$ são homotopicamente equivalentes. Demonstração