Homeomorfismo

Na topologia, dois espaços são considerados iguais quando são homeomorfos, mas o que seria isso?

Definição: Homeomorfismo

Sejam $(X, \tau )$ e $(Y,\sigma)$ espaços topológicos. Dizemos que uma função $f : X \rightarrow Y$ é um homeomorfismo, se $f$ é bijetora, contínua e $f^{-1}$ é contínua. Neste caso, dizemos que $(X, \tau )$ e $(Y,\sigma)$ são homeomorfos.

Definição: Invariante topológico

Chamamos uma propriedade $P$ de um invariante topológico, se ela é preservada por homeomorfismos (isto é, se $(X, \tau )$ e $(Y,\sigma)$ são espaços homemorfos, então $(X, \tau )$ tem a propriedade $P$ se, e somente se, $(Y,\sigma)$ tem).

Invariantes topológicos são muito úteis para provar que espaços não são homeomorfos, uma vez que, como deveriam ser preservadas por homeomorfismos, achando um invariante que vale em um espaço topológico $X$ e não vale em um $Y$, temos que $X$ e $Y$ não são homeomorfos.

Mostre por contra-exemplo que um espaço métrico completo não é um invariante topológica.
Mostre que uma circunferência $S_1$ não é homeomorfo ao intervalo $[0,1)$.

Lembre-se de verificar a continuidade de $f^{-1}$, simplesmente $f$ ser bijetora e contínua não implica isso.

Mostre que a composição de homeomorfismos é um homeomorfismo

Verfique que a composta de contínuas é contínua, a composta de bijetora é bijetora e a inversa da composta é contínua.

Mostre que uma circunferência $S_1 = \{(x,y) : x^2+y^2=1\}$ é homeomorfa ao quadrado $Q=\{(x,y) \in \mathbb{R} : |x|+|y|=1\}$

Passo a passo
i. Considere a função $f:Q \rightarrow S_1$ tq $f(x,y):= (\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}})$
ii. Prove que $f$ é contínua, bijetora e $f^{-1}$ é contínua.

Definição: Ordem total

Seja $(X, \leq)$ um conjunto ordenado. Dizemos que $\leq$ é uma ordem total se, para todo $x, y \in X$, vale $x \leq y $ ou $y \leq x$.

Definição: Topologia da ordem

Seja $(X, \leq)$ um conjunto totalmente ordenado. Chamamos de topologia da ordem sobre $(X, \leq)$ a topologia gerada pelos seguintes conjuntos (para todo $a, b \in X$):
(a) $]a, +\infty[ = \{x \in X : a < x\}$;
(b) $] -\infty, b[ = \{x \in X : x < b\}$.

Mostre que se $X$ é um conjunto totalmente ordenado completo e $F$ é um subconjunto de $X$ fechado na topologia da ordem então $F$ é completo.

Note que se $A \subset F$ tq $A \neq \emptyset$ e $|A|\leq M$, então $\sup A \subset X$, o mesmo ocorre para o ínfimo.

Definição: Ordem densa

Seja $(X, \leq)$ um conjunto ordenado. Dizemos que $\leq$ é uma ordem densa se, para todo $x, y \in X$, com $x < y$, existe $z \in X$ tal que $x < z < y$.

Mostre que seja $(X, \leq)$ um conjunto totalmente ordenado e conexo, sendo $\leq$ a topologia da ordem, admite $\leq$ uma ordem densa.

Prove por contradição.

Teorema

Todo espaço totalmente ordenado, com ordem densa, sem maior nem menor elementos, completo e separável é homeomorfo a $\mathbb{R}$.

Mostre que $(a,b)$ tq $a<b$ em $\mathbb{R}$ é homeomorfo a $\mathbb{R}$

Prove utilizando o teorema acima.

Mostre que todo aberto em $R^n$ é homeomorfo a $R^n$.