Aqui criaremos uma imagem algébrica de um espaço topológico pelos laços desse espaço, com seus caminhos começando e terminando no mesmo ponto. Sem definições formais, daremos uma ideia.

Considere dois círculos ligados $A$ e $B$ do espaço $\mathbb{R}^{3}$, como na imagem ao lado. Pelo que sabemos de correntes, é impossível separar $B$ de $A$ usando movimentos como puxar, torcer ou empurrar, pelo menos é o que a intuição sugere. E o grupo fundamental nos dará um jeito de tornar essa intuição em rigor matemático, que será dado em termos de laços e deformações de laços. Mas agora, o que é um laço? Um laço será basicamente um caminho que começa e termina num mesmo ponto fixo.

Então estamos restringindo nossa atenção aos caminhos $f\colon I=[0,1] \to X$ que têm o mesmo ponto inicial e final $f(0) = f(1) = x_{0} \in X$. Tais caminhos são chamados laços ou loops. É claro que se $f$ e $g$ forem caminhos homotópicos, seus laços também serão. Para isso usaremos a notação $f \simeq_{x_0} g$, essa relação é de equivalência e nesse contexto o $x_0$ será omitido.

O conjunto de todas as classes de homotopia $[f]$ de laços $f\colon I \to X$ com ponto base $x_{0}$ é denotado por $\pi_{1}(X,x_{0})$. Veremos que esse conjunto é um grupo munido com a operação a seguir.

Dados dois caminhos $f,g\colon I \to X$ tal que $f(1) = g(0)$, podemos concatenar ou fazer o caminho produto $f \ast g$ que caminha primeiro pela $f$ e depois pela $g$, definida por: $$ (f\ast g)(s) = \begin{cases} f(2s) ,& 0 \leq s\leq \frac{1}{2} \\ g(2s-1) ,& \frac{1}{2} \leq s\leq 1 \end{cases} $$

Então $f$ e $g$ caminham com o dobro de velocidade para que $f\ast g$ atravesse com o tempo unitário. Essa operação repeita classes de homotopia, já que se $f_{0} \simeq f_{1}$ e $g_{0} \simeq g_{1}$ pelas homotopias $f_{t}$ e $g_{t}$, e se $f_{0}(1) = g_{0}(0)$ para que $f_{0}\ast g_{0}$ esteja definida, então $f_{t}\ast g_{t}$ é definida e nos fornece a homotopia $f_{0}\ast g_{0} \simeq f_{1}\ast g_{1}$, de maneira geral essa demonstração pode ser vista aqui.

Proposição

Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico e $x_0 \in X$. Então $\pi_{1}(X,x_{0})$ é um grupo com respeito ao produto $[f][g] = [f\ast g]$. Esse é o grupo fundamental de $X$ com ponto base $x_{0}$.

Demonstração

Exemplo

Dado um conjunto convexo $X$ em $\mathbb{R}^{n}$ com ponto base $x_{0}\in X$, temos $\pi_{1}(X,x_{0}) = 0$, o grupo trivial, já que quaisquer dois laços $f_{0}$ e $f_{1}$ com base em $x_{0}$ são homotópicos pela homotopia linear $f_{t}(s) = (1-t)f_{0}(s) + tf_{1}(s)$.

Por essa homotopia, cada ponto $f_{0}(s)$ caminha pelo segmento até $f_{1}(s)$ a velocidade constante, pois esse caminho é parametrizado linearmente: $f_{0}(s) + t[f_{1}(s) - f_{0}(s)]$. Caso $f_{1}(s) = f_{0}(s)$, o segmento degenera num ponto e $f_{t}(s)= f_{0}(s)$ $\forall$ $t$. Isso ocorre em particular para $s = 0$ e $s = 1$, então cada $f_{t}$ é um caminho de $x_{0}$ até $x_{1}$. Continuidade da homotopia $f_{t}$ como uma função $I \times I \to \mathbb{R}^{n}$ segue da continuidade de $f_{0}$ e $f_{1}$ uma vez que as operações algébricas de adição vetorial e multiplicação por escalar na fórmula pra $f_{t}$ são contínuas.

Essa construção mostra de maneira mais geral que pra um espaço convexo $X \subset R^{n}$, todos os caminhos em $X$ com pontos extremos dados $x_{0}$ e $x_{1}$ são homotópicos, já que se $f_{0}$ e $f_{1}$ estão em $X$, então a homotopia $f_{t}$ também está em $X$.

Proposição

Suponha $\varphi\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0})$ uma função que leva o ponto base $x_{0} \in X$ ao ponto base $y_{0}\in Y$. Então $\varphi$ induz o homomorfismo $\varphi^{\sharp}\colon \pi_{1}(X,x_{0}) \to \pi_{1}(Y,y_{0})$, definida pela composição de laços $f\colon I\to X$ com ponto base $x_{0}$ com $\varphi$, ou seja, $\varphi^{\sharp}[f]=[\varphi f]$.

Demonstração

Duas propriedades básicas dessa aplicação induzida são:

• $(\varphi \psi)^{\sharp} = \varphi^{\sharp}\psi^{\sharp}$ para uma composição $(X,x_{0}) \overset{\psi}{\longrightarrow} (Y,y_{0}) \overset{\varphi}{\longrightarrow} (Z,z_{0})$.
• $(Id_{X})^{\sharp} = Id_{\pi_{1}(X,x_{0})}$; uma maneira concisa de dizer que a função identidade $Id \colon X \to X$ induz a função identidade $Id \colon \pi_{1}(X,x_{0})\to \pi_{1}(X,x_{0})$.

O primeiro desses itens segue do fato que as compostas das funções são associativas, então $(\varphi\psi)f = \varphi (\psi f)$, e a segunda é direta.

É natural se perguntar sobre a dependência de $\pi_{1}(X,x_{0})$ quanto a escolha do ponto base $x_{0}$. Como $\pi_{1}(X,x_{0})$ depende somente da componente conexa de $X$ contendo $x_{0}$, temos a esperança de achar uma relação entre $\pi_{1}(X,x_{0})$ e $\pi_{1}(X,x_{1})$.

Então, seja $h\colon I\to X$ um caminho de $x_{0}$ até $x_{1}$, com o caminho inverso $\bar{h}(s) = h(1-s)$ de $x_{1}$ até $x_{0}$. Podemos associar cada laço $f$ com base em $x_{1}$ ao laço $h\ast f\ast \bar{h}$ com base em $x_{0}$. Note que podemos fazer esse produto escolhendo uma ordem, $(h\ast f)\ast \overline{h}$ ou $h\ast (f\ast \bar{h})$, mas as escolhas são homotópicas e estamos interessados nas classes. Alternativamente, para evitar ambiguidades, podemos generalizar esse produto em $f_{1}\ast \ldots \ast f_{n}$ onde cada $f_{i}$ passa no intervalo de tempo $[\frac{i-1}{n}, \frac{i}{n}]$. De qualquer maneira, definimos a mudança de ponto base como sendo a função $\beta_{h}\colon \pi_{1}(X,x_{1}) \to \pi_{1}(X,x_{0})$ com a lei $\beta_{h}[f] = [h\ast f\ast \bar{h}]$. Isso está bem definido, já que se $f_{t}$ é uma homotopia com laços em $x_{1}$ então $h\ast f_{t}\ast \bar{h}$ é uma homotopia com laços em $x_{0}$.

Proposição//Exercício

A função $\beta_{h}\colon \pi_{1}(X,x_{1}) \to \pi_{1}(X,x_{0})$ é um isomorfismo.

Demonstração

Logo, se $X$ é conexo por caminhos, o grupo $\pi_{1}(X,x_{0})$ independe da escolha do ponto de base $x_{0}$, a menos de isomorfismo. Nesse caso, a notação é simplesmente abreviada de $\pi_{1}(X,x_{0})$ para $\pi_{1}(X)$.